Come costruire modelli di valutazione come Black-Scholes

Valutare le opzioni può essere un affare complicato. Considera il seguente scenario: nel gennaio 2015, le  azioni un’opzione call  sul titolo IBM con un  prezzo  di esercizio ATM di $ 155, aspettandoti di beneficiare di rendimenti percentuali elevati, basati su un piccolo costo dell’opzione ( premio dell’opzione ), rispetto all’acquisto di azioni con un prezzo di acquisto elevato.

Oggi sono disponibili un paio di diversi metodi già pronti per valutare le opzioni, tra cui il  modello di Black-Scholes  e il  modello ad albero binomiale, che possono fornire risposte rapide. Ma quali sono i fattori sottostanti e i concetti guida per arrivare a tali modelli di valutazione? Si può preparare qualcosa di simile, sulla base del concetto di questi modelli?

Qui, copriamo gli elementi costitutivi, i concetti sottostanti ei fattori che possono essere utilizzati come struttura per costruire un modello di valutazione per un asset come le opzioni, fornendo un confronto fianco a fianco alle origini del Black-Scholes (BS ) modello.

Questo articolo non intende contestare le ipotesi o altri fattori del modello BS (che è un argomento completamente diverso); piuttosto, mira a spiegare il concetto alla base del modello di Black-Scholes, insieme all’idea di sviluppo del modello di valutazione.

Il mondo prima di Black-Scholes

Prima di Black-Scholes, il Capital Asset Pricing Model (CAPM) basato sull’equilibrio era ampiamente seguito. I rendimenti e i rischi erano bilanciati tra loro, in base alla preferenza dell’investitore, vale a dire che un investitore ad alta assunzione di rischio doveva essere compensato con (il potenziale di) rendimenti più elevati in una proporzione simile.

Il modello BS trova le sue radici in CAPM. Secondo Fischer Black: “Ho applicato il Capital Asset Pricing Model a ogni momento della vita di un warrant, per ogni possibile prezzo delle azioni e valore del warrant”. Sfortunatamente, il CAPM non è stato in grado di soddisfare il requisito del prezzo del mandato (opzione).

Black-Scholes rimane il primo modello, basato sul concetto di arbitraggio, che effettua un cambio di paradigma dai modelli basati sul rischio (come il CAPM). Questo nuovo sviluppo del modello BS ha sostituito il concetto di rendimento delle azioni CAPM con il riconoscimento del fatto che una posizione perfettamente coperta guadagnerà un tasso privo di rischio. Ciò ha eliminato le variazioni di rischio e rendimento e ha stabilito il concetto di arbitraggio in cui le valutazioni vengono eseguite su ipotesi di concetto neutrale al rischio: una posizione coperta (priva di rischio) dovrebbe portare a un tasso di rendimento privo di rischio.

Lo sviluppo di Black-Scholes

Cominciamo stabilendo il problema, quantificandolo e sviluppando un quadro per la sua soluzione. Continuiamo con il nostro esempio sulla valutazione dell’opzione call ATM su IBM con un prezzo di esercizio di 155 $ a un anno dalla scadenza.

Sulla base della definizione di base di un’opzione call, a meno che il prezzo delle azioni non raggiunga il livello del prezzo di esercizio, il payoff rimane zero. Dopo quel livello, il payoff aumenta linearmente (ovvero, un aumento di un dollaro nel sottostante fornirà un payoff di un dollaro dall’opzione call).

Supponendo che l’acquirente e il venditore concordino sulla valutazione equa (incluso il prezzo zero), il prezzo equo teorico per questa opzione call sarà:

• Prezzo dell’opzione call = $ 0, se sottostante <strike (grafico rosso)
• Prezzo dell’opzione call = (sottostante — strike), se sottostante> = strike (grafico blu)

Questo rappresenta il valore intrinseco dell’opzione e sembra perfetto dal punto di vista dell’acquirente di un’opzione call. Nella regione rossa, sia l’acquirente che il venditore hanno una valutazione equa (prezzo zero per il venditore, zero guadagno per l’acquirente). Tuttavia, la sfida di valutazione inizia con la regione blu, poiché l’acquirente ha il vantaggio di un payoff positivo, mentre il venditore subisce una perdita (a condizione che il prezzo sottostante superi il prezzo di esercizio). È qui che l’acquirente ha un vantaggio sul venditore a prezzo zero. Il prezzo deve essere diverso da zero per compensare il venditore per il rischio che sta assumendo.

Nel primo caso (grafico rosso), in teoria, il venditore riceve un prezzo zero e l’acquirente ha un potenziale di guadagno pari a zero (equo per entrambi). In quest’ultimo caso (grafico blu), il differenziale tra il sottostante e lo strike deve essere pagato dal venditore all’acquirente. Il rischio del venditore copre la durata di un intero anno. Ad esempio, il prezzo delle azioni sottostanti può oscillare molto in alto (diciamo a $ 200 tra quattro mesi) e il venditore è tenuto a pagare all’acquirente il differenziale di $ 45.

Quindi, si riduce a:

1. Il prezzo del sottostante incrocia il prezzo di esercizio?
2. In caso affermativo, quanto può salire il prezzo sottostante (poiché ciò determinerà il guadagno per l’acquirente)?

Ciò indica il grande rischio assunto dal venditore, che porta alla domanda: perché qualcuno dovrebbe vendere una simile chiamata, se non ottiene nulla per il rischio che sta correndo?

Il nostro obiettivo è arrivare a un prezzo unico che il venditore dovrebbe addebitare all’acquirente, che può compensarlo per il rischio complessivo che si sta assumendo nell’arco di un anno, sia nella regione di pagamento zero (rosso) che nella regione di pagamento lineare (blu). Il prezzo dovrebbe essere giusto e accettabile sia per l’acquirente che per il venditore. In caso contrario, chi è svantaggiato in termini di pagamento o ricezione di un prezzo ingiusto non parteciperà al mercato, vanificando così lo scopo dell’attività commerciale. Il modello di Black-Scholes mira a stabilire questo prezzo equo considerando la variazione costante del prezzo del titolo, il valore temporale del denaro, il prezzo di esercizio dell’opzione e il tempo alla scadenza dell’opzione. Simile al modello BS, vediamo come possiamo approcciarci per valutarlo per il nostro esempio usando i nostri metodi.

Come valutare il valore intrinseco nella regione blu?

Sono disponibili un paio di metodi per prevedere il movimento di prezzo previsto in futuro durante un determinato periodo di tempo:

• Si possono analizzare movimenti di prezzo simili della stessa durata nel recente passato. Il prezzo di chiusura storico di IBM indica che nell’ultimo anno (dal 2 gennaio 2014 al 31 dicembre 2014), il prezzo è sceso a 160,44 dollari da 185,53 dollari, con un calo del 13,5%. Possiamo concludere un movimento di prezzo del -13,5% per IBM?
• Un ulteriore controllo dettagliato indica che ha toccato un massimo annuale di $ 199,21 (il 10 aprile 2014) e un minimo annuale di $ 150,5 (il 16 dicembre 2014). Basandoli sul giorno di inizio, 2 gennaio 2014, e sul prezzo di chiusura di $ 185,53, la variazione percentuale varia da + 7,37% a -18,88%. Ora, l’intervallo di variazione sembra molto più ampio rispetto al calo calcolato in precedenza del 13,5%.

È possibile effettuare analisi e osservazioni simili sui dati storici. Per continuare lo sviluppo del nostro modello di prezzo, supponiamo che questa semplice metodologia per misurare le future variazioni di prezzo.

Supponiamo che IBM aumenti del 10% ogni anno (sulla base dei dati storici degli ultimi 20 anni). Le statistiche di base indicano che la probabilità che il prezzo delle azioni IBM si aggiri intorno al + 10% sarà molto più alta della probabilità che il prezzo IBM aumenti del 20% o scenda del 30%, supponendo che i modelli storici si ripetano. Raccogliendo punti di dati storici simili con valori di probabilità, un rendimento atteso complessivo sul prezzo delle azioni IBM in un periodo di tempo di un anno può essere calcolato come media ponderata delle probabilità e dei rendimenti associati. Ad esempio, supponiamo che i dati storici sui prezzi di IBM indichino le seguenti mosse:

• (-10%) nel 25% delle volte,
• + 10% nel 35% delle volte,
• + 15% nel 20% delle volte,
• + 20%  nel 10% delle volte,
• + 25% nel 5% delle volte e
• (-15%) nel 5% delle volte.

Quindi, la media ponderata (o il valore atteso) arriva a:

(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% – 15% * 5%) / 100% = 6,5%

Vale a dire, in media, il prezzo del titolo IBM dovrebbe tornare a + 6,5% entro un anno per ogni dollaro. Se qualcuno acquista le azioni IBM con un orizzonte di un anno e un prezzo di acquisto di $ 155, ci si può aspettare un rendimento netto di 155 * 6,5% = $ 10,075.

Tuttavia, questo è per il rendimento delle azioni. Dobbiamo cercare rendimenti attesi simili per l’opzione call.

Sulla base del payoff zero della call al di sotto del prezzo di esercizio (esistente $ 155 – chiamata ATM), tutte le mosse negative genereranno zero payoff, mentre tutte le mosse positive sopra il prezzo di esercizio genereranno un payoff equivalente. Il rendimento atteso per l’opzione call sarà quindi:

( -0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% – 0 % * 5%) / 100% = 9,75%

Cioè, per ogni $ 100 investiti nell’acquisto di questa opzione, ci si può aspettare $ 9,75 (in base alle ipotesi di cui sopra).

Tuttavia, ciò rimane ancora limitato alla valutazione equa dell’importo intrinseco dell’opzione e non coglie correttamente il rischio sopportato dal venditore dell’opzione per le oscillazioni elevate che possono verificarsi nel frattempo (nel caso prezzi). Oltre al valore intrinseco, quale prezzo può essere concordato tra l’acquirente e il venditore, in modo che il venditore sia equamente compensato per il rischio che si sta assumendo nell’arco di un anno?

Queste oscillazioni possono variare notevolmente e il venditore può avere la sua interpretazione di quanto vuole essere compensato. Il modello Black-Scholes presuppone opzioni di tipo europeo, ovvero nessun esercizio prima della data di scadenza. Pertanto, non è influenzato dalle oscillazioni intermedie dei prezzi e basa la sua valutazione sui giorni di negoziazione end-to-end.

Nel trading giornaliero reale, questa volatilità gioca un ruolo importante nella determinazione dei prezzi delle opzioni. La funzione di payoff blu che comunemente vediamo è in realtà il payoff alla data di scadenza. Realisticamente, il prezzo dell’opzione (grafico rosa) è sempre superiore al payoff (grafico blu), indicando il prezzo preso dal venditore per compensare le sue capacità di assunzione di rischio. Questo è il motivo per cui il prezzo dell’opzione è anche noto come “premio” dell’opzione, che indica essenzialmente il premio per il rischio.

Questo può essere incluso nel nostro modello di valutazione, a seconda della volatilità prevista nel prezzo delle azioni e del valore atteso che ne deriverebbe.

Il modello di Black-Scholes lo fa in modo efficiente (ovviamente, all’interno delle sue stesse ipotesi) come segue:

Il modello BS presuppone una distribuzione lognormale dei movimenti dei prezzi delle azioni, che giustifica l’uso di N (d1) e N (d2).

• Nella prima parte, S indica il prezzo corrente del titolo.
• N (d1) indica la probabilità dell’attuale movimento del prezzo delle azioni.

Se questa opzione va in the money consentendo all’acquirente di esercitare questa opzione, otterrà una quota delle azioni IBM sottostanti. Se il trader lo esercita oggi, allora S * N (d1) rappresenta il valore atteso dell’opzione al giorno d’oggi.

Nella seconda parte, X indica il prezzo di esercizio.

• N (d2) rappresenta la probabilità che il prezzo delle azioni sia superiore al prezzo di esercizio.
• Quindi X * N (d2) rappresenta il valore atteso del prezzo delle azioni che rimane al di sopra  del prezzo di esercizio.

Poiché il modello di Black-Scholes assume opzioni di stile europeo in cui l’esercizio è possibile solo alla fine, il valore atteso rappresentato sopra da X * N (d2) dovrebbe essere scontato per il valore temporale del denaro. Quindi, l’ultima parte viene moltiplicata con il termine esponenziale elevato al tasso di interesse nel periodo di tempo.

La differenza netta dei due termini indica il valore del prezzo dell’opzione alla data odierna (in cui il secondo termine è scontato)

Nel nostro quadro, tali variazioni di prezzo possono essere incluse in modo più accurato in diversi modi:

• Ulteriore perfezionamento dei calcoli del rendimento atteso espandendo la gamma a intervalli più precisi per includere le variazioni di prezzo intraday / intrayear
• Inclusione dei dati di mercato attuali, poiché riflettono l’attività corrente (simile alla volatilità implicita )
• Rendimenti attesi alla data di scadenza, che possono essere scontati fino ai giorni nostri per valutazioni realistiche e ulteriormente ridotti dal valore attuale

Quindi, vediamo che non c’è limite alle ipotesi, metodologie e personalizzazioni da selezionare per l’analisi quantitativa. A seconda dell’asset da negoziare o dell’investimento da considerare, è possibile lavorare su un modello auto-sviluppato. È importante notare che la volatilità dei movimenti di prezzo di diverse classi di attività varia molto – le azioni hanno una  deviazione della volatilità, il forex ha un  cipiglio di volatilità – e gli utenti dovrebbero incorporare i modelli di volatilità applicabili nei loro modelli. I presupposti e gli svantaggi sono parte integrante di qualsiasi modello e l’applicazione consapevole dei modelli in scenari di trading del mondo reale può produrre risultati migliori.

La linea di fondo

Con asset complessi che entrano nei mercati o anche asset plain vanilla che entrano in forme complesse di trading, la modellazione e l’analisi quantitativa stanno diventando obbligatorie per la valutazione. Sfortunatamente, nessun modello matematico viene fornito senza una serie di inconvenienti e presupposti. L’approccio migliore è mantenere le ipotesi al minimo ed essere consapevoli degli svantaggi impliciti, che possono aiutare a tracciare le linee sull’uso e l’applicabilità dei modelli.