Durata e convessità per misurare il rischio obbligazionario

Cosa sono la durata e la convessità?

La durata e la convessità sono due strumenti utilizzati per gestire l’esposizione al rischio degli investimenti a reddito fisso. La duration misura la sensibilità dell’obbligazione alle variazioni dei tassi di interesse. La convessità si riferisce all’interazione tra il prezzo di un’obbligazione e il suo rendimento quando subisce variazioni nei tassi di interesse.

Con le obbligazioni cedolari, gli investitori si affidano a una metrica nota come durata per misurare la sensibilità del prezzo di un’obbligazione alle variazioni dei tassi di interesse. Poiché un’obbligazione cedolare effettua una serie di pagamenti nel corso della sua durata, gli investitori a reddito fisso hanno bisogno di metodi per misurare la scadenza media del flusso di cassa promesso di un’obbligazione, per fungere da statistica riassuntiva della scadenza effettiva dell’obbligazione. La durata consente di ottenere questo risultato, consentendo agli investitori a reddito fisso di valutare più efficacemente l’incertezza nella gestione dei propri portafogli.

Punti chiave

• Con le obbligazioni cedolari, gli investitori si affidano a una metrica nota come “durata” per misurare la sensibilità del prezzo di un’obbligazione alle variazioni dei tassi di interesse.
• Utilizzando uno strumento di gestione del divario, le banche possono equiparare la durata di attività e passività, immunizzando efficacemente la loro posizione complessiva dai movimenti dei tassi di interesse.

Durata di un legame

Nel 1938, l’economista canadese Frederick Robertson Macaulay ha soprannominato il concetto di maturità effettiva la “durata” dell’obbligazione. In tal modo, ha suggerito di calcolare questa durata come la media ponderata dei tempi alla scadenza di ciascuna cedola, o pagamento del capitale, effettuato dall’obbligazione. La formula della durata di Macaulay è la seguente:

Durata nella gestione del reddito fisso

La durata è fondamentale per la gestione dei portafogli a reddito fisso, per i seguenti motivi:

1. È una semplice statistica riassuntiva della scadenza media effettiva di un portafoglio.
2. È uno strumento essenziale per immunizzare i portafogli dal rischio di tasso di interesse.
3. Stima la sensibilità ai tassi di interesse di un portafoglio.

La metrica della durata ha le seguenti proprietà:

• La durata di un’obbligazione zero coupon è uguale al tempo alla scadenza.
• Mantenendo la scadenza costante, la durata di un’obbligazione è inferiore quando il tasso della cedola è più alto, a causa dell’impatto dei pagamenti anticipati della cedola più elevati.
• Mantenendo costante il tasso cedolare, la durata di un’obbligazione generalmente aumenta con il tempo fino alla scadenza. Esistono tuttavia delle eccezioni, come nel caso di strumenti come le obbligazioni a sconto profondo, in cui la durata può diminuire con l’aumento delle scadenze.
• Mantenendo costanti altri fattori, la durata delle obbligazioni cedolari è maggiore quando i rendimenti a scadenza delle obbligazioni sono inferiori. Tuttavia, per le obbligazioni zero coupon, la durata è uguale al tempo alla scadenza, indipendentemente dal rendimento alla scadenza.
• La durata della perpetuità del livello è (1 + y) / y. Ad esempio, con un rendimento del 10%, la durata del perpetuo che paga $ 100 all’anno sarà pari a 1,10 /.10 = 11 anni. Tuttavia, con un rendimento dell’8%, sarà uguale a 1,08 / 0,08 = 13,5 anni. Questo principio rende evidente che la scadenza e la durata possono differire notevolmente. Caso in questione: la scadenza della perpetuity è infinita, mentre la durata dello strumento con un rendimento del 10% è di soli 11 anni. Il flusso di cassa ponderato per il valore attuale all’inizio della vita della perpetuità domina il calcolo della durata.

Durata per la gestione del divario

Molte banche mostrano disallineamenti tra le scadenze delle attività e delle passività. Le passività bancarie, che sono principalmente i depositi verso la clientela, sono generalmente di natura a breve termine, con statistiche di bassa duration. Al contrario, le attività di una banca comprendono principalmente prestiti commerciali e al consumo o mutui in essere. Queste attività tendono ad avere una durata maggiore e i loro valori sono più sensibili alle fluttuazioni dei tassi di interesse. Nei periodi in cui i tassi di interesse aumentano in modo imprevisto, le banche possono subire drastiche riduzioni del patrimonio netto, se le loro attività diminuiscono ulteriormente di valore rispetto alle loro passività.

Una tecnica chiamata gestione del divario è uno strumento di gestione del rischio ampiamente utilizzato, in cui le banche tentano di limitare il “divario” tra le durate di attività e passività. La gestione del divario si basa fortemente sui mutui a tasso variabile (ARM), componenti chiave per ridurre la durata dei portafogli di attività bancarie. A differenza dei mutui convenzionali, gli ARM non diminuiscono di valore quando i tassi di mercato aumentano, perché i tassi che pagano sono legati al tasso di interesse corrente.

Dall’altro lato dello stato patrimoniale, l’introduzione di certificati di deposito bancari a più lungo termine (CD) a scadenza fissa, serve ad allungare la durata delle passività bancarie, contribuendo altresì alla riduzione del duration gap.

Capire la gestione del divario

Le banche impiegano la gestione del divario per equiparare la durata delle attività e delle passività, immunizzando efficacemente la loro posizione complessiva dai movimenti dei tassi di interesse. In teoria, le attività e le passività di una banca sono più o meno uguali in termini di dimensioni. Pertanto, se anche la loro durata è uguale, qualsiasi variazione dei tassi di interesse influenzerà il valore delle attività e delle passività nella stessa misura e le variazioni dei tassi di interesse avrebbero di conseguenza un effetto finale minimo o nullo sul patrimonio netto. Pertanto, l’immunizzazione del patrimonio netto richiede una durata del portafoglio, o gap, pari a zero.

Gli istituti con obbligazioni fisse future, come i fondi pensione e le compagnie di assicurazione, si differenziano dalle banche in quanto operano in un’ottica di impegni futuri. Ad esempio, i fondi pensione sono obbligati a mantenere fondi sufficienti per fornire ai lavoratori un flusso di reddito al momento del pensionamento. Quando i tassi di interesse fluttuano, anche il valore delle attività detenute dal fondo e il tasso a cui tali attività generano reddito. Pertanto, i gestori di portafoglio potrebbero voler proteggere (immunizzare) il valore accumulato futuro del fondo in una data target, contro i movimenti dei tassi di interesse. In altre parole, l’immunizzazione salvaguarda attività e passività corrispondenti alla durata, in modo che una banca possa adempiere ai propri obblighi, indipendentemente dai movimenti dei tassi di interesse.

Convessità nella gestione del reddito fisso

Sfortunatamente, la durata ha dei limiti quando viene utilizzata come misura della sensibilità ai tassi di interesse. Mentre la statistica calcola una relazione lineare tra le variazioni di prezzo e rendimento delle obbligazioni, in realtà la relazione tra le variazioni di prezzo e il rendimento è convessa.

Nell’immagine sottostante, la linea curva rappresenta la variazione dei prezzi, data una variazione dei rendimenti. La linea retta, tangente alla curva, rappresenta la variazione di prezzo stimata, tramite la statistica della durata. L’area ombreggiata rivela la differenza tra la stima della durata e l’effettivo movimento del prezzo. Come indicato, maggiore è la variazione dei tassi di interesse, maggiore è l’errore nella stima della variazione di prezzo dell’obbligazione.

La convessità, una misura della curvatura delle variazioni del prezzo di un’obbligazione, in relazione alle variazioni dei tassi di interesse, affronta questo errore, misurando la variazione della durata, al variare dei tassi di interesse. La formula è la seguente:

C=d2(B(r))B∗d∗r2where:C=convexityB=the bond pricer=the interest rated=duration\ begin {align} & C = \ frac {d ^ 2 \ left (B \ left (r \ right) \ right)} {B * d * r ^ 2} \\ & \ textbf {dove:} \\ & C = \ text {convessità} \\ & B = \ text {prezzo dell’obbligazione} \\ & r = \ text {tasso di interesse} \\ & d = \ text {durata} \\ \ end {allineato}​C=B∗d∗r2

In generale, maggiore è la cedola, minore è la convessità, perché un’obbligazione del 5% è più sensibile alle variazioni del tasso di interesse rispetto a un’obbligazione del 10%. A causa della funzione call, le obbligazioni rimborsabili mostreranno una convessità negativa se i rendimenti scendono troppo bassi, il che significa che la durata diminuirà quando i rendimenti diminuiranno. Le obbligazioni zero coupon hanno la convessità più alta, dove le relazioni sono valide solo quando le obbligazioni confrontate hanno la stessa durata e rendimenti a scadenza. Appunto: un’obbligazione ad alta convessità è più sensibile alle variazioni dei tassi di interesse e di conseguenza dovrebbe assistere a maggiori fluttuazioni di prezzo quando i tassi di interesse si muovono.

L’opposto è vero per le obbligazioni a bassa convessità, i cui prezzi non oscillano tanto quando i tassi di interesse cambiano. Quando rappresentata graficamente su un diagramma bidimensionale, questa relazione dovrebbe generare una forma a U con pendenza lunga (da qui il termine “convesso”).

Le obbligazioni a cedola bassa e zero cedola, che tendono ad avere rendimenti inferiori, mostrano la più alta volatilità dei tassi di interesse. In termini tecnici, ciò significa che la aggiustamento più ampio per tenere il passo con la maggiore variazione di prezzo dopo che il tasso di interesse si muove. Tassi cedolari inferiori portano a rendimenti inferiori e rendimenti inferiori portano a gradi più elevati di convessità.

La linea di fondo

I tassi di interesse in continua evoluzione introducono incertezza negli investimenti a reddito fisso. La durata e la convessità consentono agli investitori di quantificare questa incertezza, aiutandoli a gestire i loro portafogli a reddito fisso.