Teoria dei prezzi dell’arbitraggio: non è solo matematica fantasia

La teoria dei prezzi di arbitraggio (APT)  è un’alternativa al modello CAPM (Capital Asset Pricing Model) per spiegare i rendimenti di attività o portafogli. È stato sviluppato dall’economista  Stephen Ross negli anni ’70. Nel corso degli anni, la teoria dei prezzi di arbitraggio è diventata popolare grazie ai suoi presupposti relativamente più semplici. Tuttavia, la teoria dei prezzi di arbitraggio è molto più difficile da applicare nella pratica perché richiede molti dati e analisi statistiche complesse.

Vediamo cos’è la teoria dei prezzi di arbitraggio e come possiamo metterla in pratica.

Cos’è APT?

APT è un modello tecnico multifattoriale basato sulla relazione tra il rendimento atteso di un’attività finanziaria e il suo rischio. Il modello è progettato per catturare la sensibilità dei rendimenti dell’asset ai cambiamenti di alcune variabili macroeconomiche. Gli investitori e gli analisti finanziari possono utilizzare questi risultati per aiutare a valutare i titoli.

Inerente alla teoria dei prezzi di arbitraggio è la convinzione che i titoli con un prezzo errato possano rappresentare opportunità di profitto a breve termine prive di rischi. APT differisce dal CAPM più convenzionale , che utilizza un solo fattore. Come il CAPM, tuttavia, l’APT presume che un modello fattoriale possa descrivere efficacemente la correlazione tra rischio e rendimento.

Tre presupposti sottostanti di APT

A differenza del modello di capital asset pricing, la teoria dei prezzi di arbitraggio non presuppone che gli investitori detengano portafogli efficienti.

La teoria, tuttavia, segue tre presupposti di fondo:

• I rendimenti delle attività sono spiegati da fattori sistematici.
• Gli investitori possono costruire un portafoglio di attività in cui il rischio specifico viene eliminato attraverso la diversificazione.
• Non esiste alcuna opportunità di arbitraggio tra portafogli ben diversificati. Se esistono opportunità di arbitraggio, verranno sfruttate dagli investitori. (Questo è il modo in cui la teoria ha preso il nome.)

Presupposti del Capital Asset Pricing Model

Possiamo vedere che si tratta di ipotesi più rilassate rispetto a quelle del modello di determinazione del prezzo delle attività di capitale. Questo modello presuppone che tutti gli investitori abbiano aspettative omogenee sul rendimento medio e sulla varianza delle attività. Presuppone inoltre che la stessa frontiera efficiente sia disponibile per tutti gli investitori.

Per un portafoglio ben diversificato, una formula di base che descrive la teoria dei prezzi di arbitraggio può essere scritta come segue:

R f  è il rendimento se l’attività non ha avuto esposizione a nessun fattore, vale a dire tutto

βn=0\ beta_n = 0βn​=0

A differenza del modello di determinazione del prezzo delle attività di capitale, la teoria dei prezzi di arbitraggio non specifica i fattori. Tuttavia, secondo la ricerca di Stephen Ross e Richard Roll, i fattori più importanti sono i seguenti:

• Variazione dell’inflazione
• Cambiamento del livello di produzione industriale
• Variazioni dei premi di rischio
• Cambiamento nella forma della struttura per scadenza dei tassi di interesse

Secondo i ricercatori Ross and Roll, se non si verificano sorprese nel cambiamento dei fattori di cui sopra, il rendimento effettivo sarà uguale al rendimento atteso. Tuttavia, in caso di modifiche impreviste ai fattori, il rendimento effettivo sarà definito come segue

Si noti che f ‘ n è la variazione imprevista del fattore o del fattore sorpresa, e è la parte residua del rendimento effettivo.

(Per ulteriori informazioni sul modello di determinazione del prezzo delle attività di capitale, leggi  I vantaggi e gli svantaggi del modello CAPM.)

Stima delle sensibilità dei fattori e dei premi dei fattori

Come possiamo effettivamente derivare le sensibilità ai fattori? Ricorda che nel modello di determinazione del prezzo delle attività di capitale, abbiamo derivato il beta dell’asset, che misura la sensibilità degli asset al rendimento di mercato, semplicemente regredendo i rendimenti degli asset effettivi rispetto ai rendimenti di mercato. Derivare il beta dei fattori è praticamente la stessa procedura.

Allo scopo di illustrare la tecnica di stima  ß n (sensibilità al fattore n)  e f n (l’ennesimo prezzo del fattore) ,  prendiamo l’ S & P 500 Total Return Index  e il NASDAQ Composite Total Return Index come proxy per portafogli ben diversificati per cui vogliamo trovare ß n  e  f n. Per semplicità, supponiamo di sapere che R f (il rendimento privo di rischio)  è del 2 percento. Supponiamo inoltre che il rendimento annuo atteso dei portafogli sia del 7% per l’indice S&P 500 Total Return e del 9% per il NASDAQ Composite Total Return Index.

Passaggio 1: determinare i fattori sistematici

Dobbiamo determinare i fattori sistematici con cui vengono spiegati i rendimenti del portafoglio. Supponiamo che il tasso di crescita del prodotto interno lordo (PIL) reale e la variazione del rendimento dei titoli del Tesoro a 10 anni siano i fattori di cui abbiamo bisogno. Poiché abbiamo scelto due indici con componenti di grandi dimensioni, possiamo essere certi che i nostri portafogli sono ben diversificati con un rischio specifico prossimo allo zero.

Passaggio 2: ottieni beta

Abbiamo eseguito una  regressione sui dati trimestrali storici di ciascun indice rispetto ai tassi di crescita trimestrali del PIL reale e alle variazioni trimestrali dei rendimenti dei titoli di stato. Si noti che poiché questi calcoli sono solo a scopo illustrativo, salteremo i lati tecnici dell’analisi di regressione.

Ecco i risultati:

I risultati della regressione ci dicono che entrambi i portafogli hanno sensibilità molto più elevate ai tassi di crescita del PIL (il che è logico perché la crescita del PIL si riflette solitamente nel cambiamento del mercato azionario) e sensibilità molto minime alla variazione del rendimento dei titoli di Stato (anche questo è logico perché le azioni sono inferiori sensibile alle variazioni di rendimento rispetto alle obbligazioni).

Passaggio 3: ottenere i prezzi dei fattori o i premi dei fattori

Ora che abbiamo ottenuto i fattori beta, possiamo stimare i prezzi dei fattori risolvendo il seguente insieme di equazioni:

7%=2%+3.45∗f1+0.033∗f27 \% = 2 \% + 3,45 * f_1 + 0,033 * f_27%=2%+3.45∗f1​+0.033∗f2​

f1=1.43%f_1 = 1,43 \%f1​=1.43% e

f2=2.47%f_2 = 2,47 \%f2​=2.47%

Pertanto, un’equazione generale della teoria dei prezzi di arbitraggio ex ante  per qualsiasi portafoglio i  sarà la seguente:

E(Rio)=2%+1.43%∗β1+2.47%∗β2E (R_i) = 2 \% + 1,43 \% * \ beta_1 + 2,47 \% * \ beta_2E(Rio​)=2%+1.43%∗β1​+2.47%∗β2​

Sfruttare le opportunità di arbitraggio

L’idea alla base di una condizione di non arbitraggio è che se sul mercato è presente un titolo con un prezzo errato, gli investitori possono sempre costruire un portafoglio con sensibilità ai fattori simili a quelle dei titoli con un prezzo errato e sfruttare l’opportunità di arbitraggio.

Ad esempio, supponiamo che oltre ai nostri portafogli di indici ci sia un Portafoglio ABC con i rispettivi dati forniti nella seguente tabella:

Possiamo costruire un portafoglio dai primi due portafogli di indici (con un peso dell’Indice Total Return S&P 500 del 70% e un peso dell’Indice Total Return Composito NASDAQ del 30%) con sensibilità ai fattori simili al Portafoglio ABC come mostrato nell’ultimo grezzo del tavolo. Chiamiamolo portafoglio di indici combinati. Il Portafoglio dell’Indice Combinato ha gli stessi beta rispetto ai fattori sistematici del Portafoglio ABC ma un rendimento atteso inferiore.

Ciò implica che il portafoglio ABC è sottovalutato. Quindi procederemo allo short del Portafoglio dell’Indice Combinato e con quei proventi acquisteremo azioni del Portafoglio ABC, chiamato anche portafoglio di arbitraggio (perché sfrutta l’opportunità di arbitraggio). Poiché tutti gli investitori venderebbero un portafoglio sopravvalutato e acquisteranno un portafoglio sottovalutato, ciò allontanerebbe qualsiasi profitto di arbitraggio.  Questo è il motivo per cui la teoria è chiamata teoria dei prezzi di arbitraggio.

La linea di fondo

La teoria dei prezzi di arbitraggio, come modello alternativo al modello di determinazione del prezzo delle attività di capitale, cerca di spiegare i rendimenti di asset o portafoglio con fattori sistematici e sensibilità di asset / portafoglio a tali fattori. La teoria stima i rendimenti attesi di portafogli ben diversificati con l’ipotesi sottostante che i portafogli siano ben diversificati e qualsiasi discrepanza dal prezzo di equilibrio nel mercato verrebbe istantaneamente allontanata dagli investitori. Qualsiasi differenza tra rendimento effettivo e rendimento atteso è spiegata dalle sorprese dei fattori (differenze tra i valori attesi e effettivi dei fattori).

Lo svantaggio della teoria dei prezzi di arbitraggio è che non specifica i fattori sistematici, ma gli analisti possono trovarli regredendo i rendimenti storici del portafoglio rispetto a fattori come i tassi di crescita del PIL reale, i cambiamenti dell’inflazione, i cambiamenti della struttura dei termini, i cambiamenti del premio di rischio e così via. Le equazioni di regressione consentono di valutare quali fattori sistematici spiegano i rendimenti del portafoglio e quali no.