Teorema di Bayes Definizione
Qual è il teorema di Bayes?
Il teorema di Bayes, che prende il nome dal matematico britannico del XVIII secolo Thomas Bayes, è una formula matematica per determinare la probabilità condizionata. La probabilità condizionale è la probabilità che si verifichi un risultato, basata sul verificarsi di un risultato precedente. Il teorema di Bayes fornisce un modo per rivedere le previsioni o le teorie esistenti (probabilità di aggiornamento) date prove nuove o aggiuntive. In finanza, il teorema di Bayes può essere utilizzato per valutare il rischio di prestare denaro a potenziali mutuatari.
Il teorema di Bayes è anche chiamato regola di Bayes o legge di Bayes ed è il fondamento del campo della statistica bayesiana.
Punti chiave
- Il teorema di Bayes consente di aggiornare le probabilità previste di un evento incorporando nuove informazioni.
- Il teorema di Bayes prende il nome dal matematico del XVIII secolo Thomas Bayes.
- Viene spesso impiegato in finanza per aggiornare la valutazione del rischio.
Comprensione del teorema di Bayes
Le applicazioni del teorema sono diffuse e non limitate all’ambito finanziario. Ad esempio, il teorema di Bayes può essere utilizzato per determinare l’accuratezza dei risultati dei test medici prendendo in considerazione la probabilità che una determinata persona abbia una malattia e l’accuratezza generale del test. Il teorema di Bayes si basa sull’incorporazione di distribuzioni di probabilità a priori per generare probabilità a posteriori. La probabilità a priori, nell’inferenza statistica bayesiana, è la probabilità di un evento prima che vengano raccolti nuovi dati. Questa è la migliore valutazione razionale della probabilità di un risultato sulla base delle conoscenze attuali prima che venga eseguito un esperimento. La probabilità posteriore è la probabilità rivista che un evento si verifichi dopo aver preso in considerazione nuove informazioni. La probabilità posteriore viene calcolata aggiornando la probabilità a priori utilizzando il teorema di Bayes. In termini statistici, la probabilità a posteriori è la probabilità che l’evento A si verifichi dato che si è verificato l’evento B.
Il teorema di Bayes fornisce quindi la probabilità di un evento sulla base di nuove informazioni che sono, o possono essere correlate, a quell’evento. La formula può essere utilizzata anche per vedere come la probabilità che un evento si verifichi sia influenzata da nuove informazioni ipotetiche, supponendo che la nuova informazione risulti essere vera. Ad esempio, supponiamo che una singola carta venga estratta da un mazzo completo di 52 carte. La probabilità che la carta sia un re è quattro divisa per 52, che equivale a 1/13 o approssimativamente al 7,69%. Ricorda che ci sono quattro re nel mazzo. Supponiamo ora che venga rivelato che la carta selezionata è una figura. La probabilità che la carta selezionata sia un re, dato che è una figura, è quattro diviso 12, o circa il 33,3%, poiché ci sono 12 figure in un mazzo.
Formula per il teorema di Bayes
Esempi del teorema di Bayes
Di seguito sono riportati due esempi del teorema di Bayes in cui il primo esempio mostra come la formula può essere derivata in un esempio di investimento azionario utilizzando Amazon.com Inc. ( AMZN ). Il secondo esempio applica il teorema di Bayes ai test sui farmaci.
Derivazione della formula del teorema di Bayes
Il teorema di Bayes segue semplicemente dagli assiomi della probabilità condizionata. La probabilità condizionale è la probabilità di un evento dato che si è verificato un altro evento. Ad esempio, una semplice domanda di probabilità potrebbe chiedere: “Qual è la probabilità che il prezzo delle azioni di Amazon.com scenda?” La probabilità condizionale porta questa domanda un ulteriore passo avanti chiedendosi: “Qual è la probabilità che il prezzo delle azioni AMZN scenda dato che l’ indice Dow Jones Industrial Average (DJIA) è sceso prima?”
La probabilità condizionata di A dato che B si è verificato può essere espressa come:
Se A è: “Il prezzo di AMZN scende”, allora P (AMZN) è la probabilità che AMZN diminuisca; e B è: “DJIA è già in calo” e P (DJIA) è la probabilità che il DJIA sia caduto; quindi l’espressione di probabilità condizionale si legge come “la probabilità che AMZN diminuisca dato un calo DJIA è uguale alla probabilità che il prezzo AMZN diminuisca e DJIA diminuisca rispetto alla probabilità di una diminuzione dell’indice DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN e DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN e DJIA) è la probabilità che si verifichino sia A che B. Questo è anche lo stesso della probabilità che A si verifichi moltiplicata per la probabilità che B si verifichi dato che A si verifica, espressa come P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Il fatto che queste due espressioni siano uguali porta al teorema di Bayes, che è scritto come:
se, P (AMZN e DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
quindi, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Dove P (AMZN) e P (DJIA) sono le probabilità che Amazon e il Dow Jones cadano, indipendentemente l’una dall’altra.
La formula spiega la relazione tra la probabilità dell’ipotesi prima di vedere l’evidenza che P (AMZN) e la probabilità dell’ipotesi dopo aver ottenuto l’evidenza P (AMZN | DJIA), data un’ipotesi per Amazon data evidenza nel Dow.
Esempio numerico del teorema di Bayes
Come esempio numerico, immagina che ci sia un test antidroga che è accurato al 98%, il che significa che il 98% delle volte mostra un vero risultato positivo per qualcuno che usa il farmaco e il 98% delle volte mostra un vero risultato negativo per i non farmaco. Quindi, supponi che lo 0,5% delle persone usi il farmaco. Se una persona selezionata a caso risulta positiva al farmaco, è possibile effettuare il seguente calcolo per verificare se la probabilità che la persona sia effettivamente un utente del farmaco.
(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 – 0,98) x (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76%
Il teorema di Bayes mostra che anche se una persona è risultata positiva in questo scenario, è in realtà molto più probabile che la persona non sia un utente del farmaco.