Ottimizza il tuo portafoglio utilizzando la distribuzione normale
La distribuzione normale è la distribuzione di probabilità che traccia tutti i suoi valori in modo simmetrico con la maggior parte dei risultati situati intorno alla media di probabilità.
Distribuzione normale (curva a campana)
I set di dati (come l’altezza di 100 persone, i voti ottenuti da 45 alunni in una classe, ecc.) Tendono ad avere molti valori nello stesso punto dati o all’interno dello stesso intervallo. Questa distribuzione dei punti dati è chiamata distribuzione normale o curva a campana.
Ad esempio, in un gruppo di 100 individui, 10 possono essere alti meno di 5 piedi, 65 possono stare tra 5 e 5,5 piedi e 25 possono essere superiori a 5,5 piedi. Questa distribuzione del limite di intervallo può essere tracciata come segue:
Allo stesso modo, i punti dati tracciati nei grafici per un dato set di dati possono assomigliare a diversi tipi di distribuzioni. Tre dei più comuni sono le distribuzioni allineate a sinistra, allineate a destra e confuse:
Notare la linea di tendenza rossa in ciascuno di questi grafici. Ciò indica approssimativamente l’andamento della distribuzione dei dati. Il primo, “Distribuzione allineata a SINISTRA”, indica che la maggior parte dei punti dati rientra nell’intervallo inferiore. Nel secondo grafico “Distribuzione allineata a DESTRA”, la maggior parte dei punti dati si trova all’estremità superiore dell’intervallo, mentre l’ultimo, “Distribuzione confusa”, rappresenta un insieme di dati misto senza alcuna tendenza chiara.
Ci sono molti casi in cui la distribuzione dei punti dati tende ad essere intorno a un valore centrale e quel grafico mostra una distribuzione normale perfetta, equamente bilanciata su entrambi i lati, con il maggior numero di punti dati concentrato al centro.
Ecco un set di dati perfetto, normalmente distribuito:
Il valore centrale qui è 50 (che ha il maggior numero di punti dati) e la distribuzione si riduce in modo uniforme verso i valori estremi di 0 e 100 (che hanno il minor numero di punti dati). La distribuzione normale è simmetrica attorno al valore centrale con metà dei valori su ciascun lato.
Molti esempi di vita reale si adattano alla distribuzione della curva a campana:
- Lancia una moneta equa molte volte (diciamo 100 volte o più) e otterrai una normale distribuzione equilibrata di testa e croce.
- Tira un paio di dadi equilibrati molte volte (diciamo 100 volte o più) e il risultato sarà una distribuzione equilibrata e normale centrata attorno al numero 7 e che si assottiglia uniformemente verso i valori estremi di 2 e 12.
- L’altezza degli individui in un gruppo di dimensioni considerevoli e i voti ottenuti dalle persone in una classe seguono entrambi i normali schemi di distribuzione.
- In finanza, cambiamenti nei valori di registro di forex tassi, indici dei prezzi, ei prezzi delle azioni si presume essere normalmente distribuito.
Rischio e rendimento
Ogni investimento ha due aspetti: rischio e rendimento. Gli investitori cercano il minor rischio possibile per il massimo rendimento possibile. La distribuzione normale quantifica questi due aspetti mediante la media per i rendimenti e la deviazione standard per il rischio.
Valore medio o atteso
Una particolare variazione media del prezzo di un’azione potrebbe essere dell’1,5% su base giornaliera, il che significa che, in media, aumenta dell’1,5%. Questo valore medio o valore atteso che indica il rendimento può essere ottenuto calcolando la media su un insieme di dati sufficientemente ampio contenente le variazioni di prezzo giornaliere storiche di quel titolo. Più alta è la media, meglio è.
Deviazione standard
La deviazione standard indica la quantità di cui i valori si discostano in media dalla media. Maggiore è la deviazione standard, più rischioso è l’investimento, poiché porta a maggiore incertezza.
Ecco una rappresentazione grafica dello stesso:
Pertanto, la rappresentazione grafica della distribuzione normale attraverso la sua media e deviazione standard consente la rappresentazione sia dei rendimenti che del rischio all’interno di un intervallo chiaramente definito.
Aiuta a sapere (ed essere certi con certezza) che se un insieme di dati segue il modello di distribuzione normale, la sua media ci consentirà di sapere cosa aspettarsi dai rendimenti e la sua deviazione standard ci consentirà di sapere che circa il 68% dei valori sarà entro 1 deviazione standard, il 95% entro 2 deviazioni standard e il 99% dei valori ricadrà entro 3 deviazioni standard. Un set di dati che ha una media di 1,5 e una deviazione standard di 1 è molto più rischioso di un altro set di dati con una media di 1,5 e una deviazione standard di 0,1.
Conoscere questi valori per ogni asset selezionato (cioè azioni, obbligazioni e fondi) renderà un investitore consapevole dei rendimenti e dei rischi attesi.
È facile applicare questo concetto e rappresentare il rischio e il rendimento di una singola azione, obbligazione o fondo. Ma questo può essere esteso a un portafoglio di più asset?
Gli individui iniziano a fare trading acquistando una singola azione o obbligazione o investendo in un fondo comune di investimento. A poco a poco, tendono ad aumentare le loro partecipazioni e ad acquistare più azioni, fondi o altre attività, creando così un portafoglio. In questo scenario incrementale, le persone costruiscono i loro portafogli senza una strategia o senza troppe premesse. Gestori di fondi professionisti, trader e market maker seguono un metodo sistematico per costruire il proprio portafoglio utilizzando un approccio matematico chiamato teoria del portafoglio moderno (MPT) che si basa sul concetto di “distribuzione normale”.
Teoria del portafoglio moderno
La teoria del portafoglio moderno (MPT) offre un approccio matematico sistematico che mira a massimizzare il rendimento atteso di un portafoglio per una data quantità di rischio di portafoglio selezionando le proporzioni di vari asset. In alternativa, offre anche di ridurre al minimo il rischio per un dato livello di rendimento atteso.
Per raggiungere questo obiettivo, le attività da includere nel portafoglio non dovrebbero essere selezionate esclusivamente in base al proprio merito individuale, ma piuttosto in base alle prestazioni di ciascuna attività rispetto alle altre attività nel portafoglio.
In poche parole, MPT definisce come ottenere la migliore diversificazione del portafoglio per i migliori risultati possibili: rendimenti massimi per un livello di rischio accettabile o rischio minimo per un livello di rendimenti desiderato.
I mattoni
L’MPT era un concetto così rivoluzionario quando è stato introdotto che i suoi inventori hanno vinto un Premio Nobel. Questa teoria ha fornito con successo una formula matematica per guidare la diversificazione negli investimenti.
La diversificazione è una tecnica di gestione del rischio, che rimuove il rischio “tutte le uova in un paniere” investendo in azioni, settori o classi di attività non correlati. Idealmente, la performance positiva di un asset in portafoglio annullerà la performance negativa di altre attività.
Per prendere il rendimento medio del portafoglio che ha n diverse attività, viene calcolata la combinazione ponderata in proporzione dei rendimenti delle attività costituenti.
A causa della natura dei calcoli statistici e della distribuzione normale, il rendimento complessivo del portafoglio (R p ) viene calcolato come:
La somma (∑), dove w i è il peso proporzionale dell’attività i nel portafoglio, R i è il rendimento (media) dell’attività i.
Il rischio di portafoglio (o deviazione standard) è una funzione delle correlazioni degli asset inclusi, per tutte le coppie di asset (rispetto tra loro nella coppia).
A causa della natura dei calcoli statistici e della distribuzione normale, il rischio di portafoglio complessivo (Std-dev) p viene calcolato come:
(Std-dev)p=Sqrt
(Std-dev)p=sqrt[io∑j∑wiowj(std-dev)io(std-dev)j(cor-cofioj)]
Qui, cor-cof è il coefficiente di correlazione tra i rendimenti delle attività i e j, e sqrt è la radice quadrata.
Questo si prende cura della performance relativa di ogni asset rispetto all’altro.
Sebbene ciò appaia matematicamente complesso, il semplice concetto qui applicato include non solo le deviazioni standard delle singole attività, ma anche quelle correlate l’una rispetto all’altra.
Un buon esempio è disponibile qui presso l’Università di Washington.
Un rapido esempio di MPT
Come esperimento mentale, immaginiamo di essere un gestore di portafoglio a cui è stato dato capitale e ha il compito di stabilire quanto capitale dovrebbe essere allocato a due asset disponibili (A e B) in modo da massimizzare il rendimento atteso e ridurre il rischio.
Abbiamo anche i seguenti valori disponibili:
R a = 0,175
R b = 0,055
(Std-dev) a = 0,258
(Std-dev) b = 0,115
(Std-dev) ab = -0,004875
(Cor-cof) ab = -0,164
A partire da un’allocazione uguale di 50-50 a ciascuna risorsa A e B, R p viene calcolato a 0,115 e (Std-dev) p arriva a 0,1323. Un semplice confronto ci dice che per questo portafoglio di 2 asset, il rendimento e il rischio sono a metà strada tra i valori individuali di ciascun asset.
Tuttavia, il nostro obiettivo è migliorare il rendimento del portafoglio oltre la semplice media di uno dei singoli asset e ridurre il rischio, in modo che sia inferiore a quello dei singoli asset.
Prendiamo ora una posizione di allocazione di capitale di 1,5 nell’asset A e una posizione di allocazione di capitale di -0,5 nell’asset B. (L’allocazione di capitale negativa significa mettere allo scoperto che le azioni e il capitale ricevuto vengono utilizzati per acquistare il surplus dell’altro asset con allocazione di capitale positiva. altre parole, stiamo mettendo allo scoperto il titolo B per 0,5 volte di capitale e utilizziamo quel denaro per acquistare il titolo A per un importo di 1,5 volte di capitale.)
Usando questi valori, otteniamo R p come 0.1604 e (Std-dev) p come 0.4005.
Allo stesso modo, possiamo continuare a utilizzare diversi pesi di allocazione per gli asset A e B e arrivare a diversi set di Rp e (Std-dev) p. In base al rendimento desiderato (Rp), si può scegliere il livello di rischio più accettabile (std-dev) p. In alternativa, per il livello di rischio desiderato, è possibile selezionare il miglior rendimento di portafoglio disponibile. In ogni caso, attraverso questo modello matematico di teoria del portafoglio, è possibile raggiungere l’obiettivo di creare un portafoglio efficiente con la combinazione di rischio e rendimento desiderata.
L’uso di strumenti automatizzati consente di rilevare facilmente e senza problemi le migliori proporzioni assegnate possibili, senza bisogno di lunghi calcoli manuali.
Anche la frontiera efficiente, il Capital Asset Pricing Model (CAPM) e la determinazione del prezzo degli asset utilizzando MPT si evolvono dallo stesso modello di distribuzione normale e sono un’estensione di MPT.
Sfide all’MPT (e alla distribuzione normale sottostante)
Sfortunatamente, nessun modello matematico è perfetto e ognuno presenta inadeguatezze e limitazioni.
L’ipotesi di base che i rendimenti dei prezzi delle azioni seguano la distribuzione normale stessa viene messa in discussione più volte. Esistono prove empiriche sufficienti di casi in cui i valori non aderiscono alla distribuzione normale presunta. Basare modelli complessi su tali ipotesi può portare a risultati con grandi deviazioni.
Andando oltre nel MPT, i calcoli e le ipotesi sul coefficiente di correlazione e sulla covarianza rimanenti fissi (sulla base dei dati storici) potrebbero non essere necessariamente veri per i futuri valori attesi. Ad esempio, i mercati obbligazionari e azionari hanno mostrato una perfetta correlazione nel mercato britannico dal periodo 2001 al 2004, dove i rendimenti di entrambi gli asset sono diminuiti simultaneamente. In realtà, il contrario è stato osservato su lunghi periodi storici precedenti al 2001.
Il comportamento degli investitori non viene preso in considerazione in questo modello matematico. Le tasse e i costi di transazione vengono trascurati, anche se si ipotizza un’allocazione frazionata del capitale e la possibilità di ridurre le attività.
In realtà, nessuna di queste ipotesi può essere vera, il che significa che i rendimenti finanziari realizzati possono differire in modo significativo dai profitti attesi.
La linea di fondo
I modelli matematici forniscono un buon meccanismo per quantificare alcune variabili con numeri singoli tracciabili. Ma a causa dei limiti delle ipotesi, i modelli potrebbero fallire.
La distribuzione normale, che costituisce la base della teoria del portafoglio, potrebbe non applicarsi necessariamente alle azioni e ad altri modelli di prezzo delle attività finanziarie. La teoria del portafoglio di per sé ha molti presupposti che dovrebbero essere esaminati criticamente, prima di prendere importanti decisioni finanziarie.