Un’introduzione ai processi stazionari e non stazionari

Le istituzioni finanziarie e le società, nonché i singoli investitori e ricercatori, utilizzano spesso dati di serie temporali finanziarie (come prezzi delle attività, tassi di cambio, PIL, inflazione e altri indicatori macroeconomici) nelle previsioni economiche, nell’analisi del mercato azionario o negli studi dei dati si.

Ma raffinare i dati è fondamentale per poterli applicare all’analisi delle scorte. In questo articolo, ti mostreremo come isolare i punti dati rilevanti per i tuoi rapporti di borsa.

Cottura dei dati grezzi

I punti dati sono spesso non stazionari o hanno medie, varianze e covarianze che cambiano nel tempo. I comportamenti non stazionari possono essere tendenze, cicli, passeggiate casuali o combinazioni dei tre.

I dati non stazionari, di regola, sono imprevedibili e non possono essere modellati o previsti. I risultati ottenuti utilizzando serie temporali non stazionarie possono essere spuri in quanto possono indicare una relazione tra due variabili in cui una non esiste. Per ricevere risultati coerenti e affidabili, i dati non stazionari devono essere trasformati in dati stazionari. In contrasto con il processo non stazionario che ha una varianza variabile e una media che non rimane vicina, o ritorna a una media di lungo periodo nel tempo, il processo stazionario ritorna intorno a una media di lungo termine costante e ha una varianza costante indipendente di tempo.

Tipi di processi non stazionari

Prima di arrivare al punto di trasformazione per i dati delle serie temporali finanziarie non stazionarie, dobbiamo distinguere tra i diversi tipi di processi non stazionari. Questo ci fornirà una migliore comprensione dei processi e ci consentirà di applicare la trasformazione corretta. Esempi di processi non stazionari sono la camminata casuale con o senza una deriva (un cambiamento lento e costante) e le tendenze deterministiche (tendenze che sono costanti, positive o negative, indipendentemente dal tempo per l’intera vita della serie).

• Pure Random Walk (Y t = Y t-1 + ε t ) Random walk prevede che il valore al tempo “t” sarà uguale al valore dell’ultimo periodo più una componente stocastica (non sistematica) che è un rumore bianco, che significa che ε t è indipendente e distribuito in modo identico con media “0” e varianza “σ²”. La camminata casuale può anche essere definita un processo integrato di un certo ordine, un processo con una radice unitaria o un processo con una tendenza stocastica. È un processo di non ritorno alla media che può allontanarsi dalla media in direzione positiva o negativa. Un’altra caratteristica di una passeggiata aleatoria è che la varianza evolve nel tempo e va all’infinito mentre il tempo va all’infinito; pertanto, non è possibile prevedere una passeggiata aleatoria.
• Random Walk with Drift (Y t = α + Y t-1 + ε t ) Se il modello di random walk prevede che il valore al tempo “t” sarà uguale al valore dell’ultimo periodo più una costante, o deriva (α), e a termine rumore bianco (ε t ), quindi il processo è una passeggiata casuale con una deriva. Inoltre non ritorna a una media di lungo periodo e ha una varianza dipendente dal tempo.
• Tendenza deterministica (Y t = α + βt + ε t ) Spesso una passeggiata casuale con una deriva viene confusa con una tendenza deterministica. Entrambi includono una componente di deriva e di rumore bianco, ma il valore al tempo “t” nel caso di una passeggiata aleatoria è regredito sul valore dell’ultimo periodo (Y t-1 ), mentre nel caso di un trend deterministico è regredito su un trend temporale (βt). Un processo non stazionario con un andamento deterministico ha una media che cresce attorno a un trend fisso, costante e indipendente dal tempo.
• Camminata casuale con deriva e tendenza deterministica (Y t = α + Y t-1 + βt + ε t ) Un altro esempio è un processo non stazionario che combina una passeggiata casuale con una componente di deriva (α) e una tendenza deterministica (βt). Specifica il valore al tempo “t” in base al valore dell’ultimo periodo, una deriva, una tendenza e una componente stocastica.

Tendenza e differenza stazionarie

Una passeggiata aleatoria con o senza deriva può essere trasformata in un processo stazionario mediante la differenziazione (sottraendo Y t-1 da Y t, prendendo la differenza Y t – Y t-1 ) corrispondentemente a Y t – Y t-1 = ε t oppure Y t – Y t-1 = α + ε t e allora il processo diventa stazionario per differenza. Lo svantaggio della differenziazione è che il processo perde un’osservazione ogni volta che viene presa la differenza.

Un processo non stazionario con un trend deterministico diventa stazionario dopo aver rimosso il trend, o penalizzato. Ad esempio, Yt = α + βt + εt viene trasformato in un processo stazionario sottraendo l’andamento βt: Yt – βt = α + εt, come mostrato nella figura sotto. Nessuna osservazione viene persa quando il detrending viene utilizzato per trasformare un processo non stazionario in uno stazionario.

Nel caso di una passeggiata aleatoria con deriva e andamento deterministico, il detrending può rimuovere l’andamento deterministico e la deriva, ma la varianza continuerà ad andare all’infinito. Di conseguenza, è necessario applicare anche la differenziazione per rimuovere la tendenza stocastica.

La linea di fondo

L’utilizzo di dati di serie temporali non stazionarie nei modelli finanziari produce risultati inaffidabili e falsi e porta a scarsa comprensione e previsione. La soluzione al problema è trasformare i dati delle serie temporali in modo che diventino stazionari. Se il processo non stazionario è una passeggiata casuale con o senza deriva, viene trasformato in processo stazionario mediante differenziazione. D’altra parte, se i dati delle serie temporali analizzati mostrano un andamento deterministico, i risultati spuri possono essere evitati detrending.

A volte le serie non stazionarie possono combinare una tendenza stocastica e deterministica allo stesso tempo e per evitare di ottenere risultati fuorvianti dovrebbero essere applicati sia la differenziazione che la detrazione, poiché la differenziazione rimuoverà la tendenza nella varianza e la detrazione rimuoverà la tendenza deterministica.