Utilizzo dei metodi di distribuzione della probabilità delle azioni ordinarie

Distribuzione della probabilità di disegno

Quasi indipendentemente dalla tua opinione sulla prevedibilità o sull’efficienza dei mercati, probabilmente concorderai sul fatto che per la maggior parte delle attività i rendimenti garantiti sono incerti o rischiosi. Se ignoriamo la matematica che sta alla base delle distribuzioni di probabilità, possiamo vedere che sono immagini che descrivono una particolare visione dell’incertezza. La distribuzione di probabilità è un calcolo statistico che descrive la possibilità che una data variabile rientri tra o all’interno di un intervallo specifico su un grafico di tracciamento.

L’incertezza si riferisce alla casualità. È diverso dalla mancanza di prevedibilità o dall’inefficienza del mercato. Secondo una ricerca emergente, i mercati finanziari sono al tempo stesso incerti e prevedibili. Inoltre, i mercati possono essere efficienti ma anche incerti.

In finanza, utilizziamo distribuzioni di probabilità per disegnare immagini che illustrano la nostra visione della sensibilità di un rendimento di un’attività quando pensiamo che il rendimento di un’attività possa essere considerato una variabile casuale. In questo articolo, esamineremo alcune delle distribuzioni di probabilità più popolari e ti mostreremo come calcolarle.

Le distribuzioni possono essere classificate come discrete o continue e in base al fatto che si tratti di una funzione di densità di probabilità (PDF) o di una distribuzione cumulativa.

Distribuzioni discrete e continue

Discreto si riferisce a una variabile casuale estratta da un insieme finito di possibili risultati. Un dado a sei facce, ad esempio, ha sei esiti distinti. Una distribuzione continua si riferisce a una variabile casuale estratta da un insieme infinito. Esempi di variabili casuali continue includono velocità, distanza e alcuni rendimenti di asset. Una variabile casuale discreta è illustrata tipicamente con punti o trattini, mentre una variabile continua è illustrata con una linea continua. La figura seguente mostra distribuzioni discrete e continue per una distribuzione normale con media (valore atteso) di 50 e deviazione standard di 10:

La distribuzione è un tentativo di tracciare un grafico dell’incertezza. In questo caso, un risultato di 50 è il più probabile ma accadrà solo circa il 4% delle volte; un risultato di 40 è una deviazione standard al di sotto della media e si verificherà poco meno del 2,5% delle volte.

Densità di probabilità vs. distribuzione cumulativa

L’altra distinzione è tra la funzione di densità di probabilità (PDF) e la funzione di distribuzione cumulativa. Il PDF è la probabilità che la nostra variabile casuale raggiunga un valore specifico (o, nel caso di una variabile continua, di cadere tra un intervallo). Dimostriamo che indicando la probabilità che una variabile casuale X sia  uguale a un valore effettivo x:

La distribuzione cumulativa è la probabilità che la variabile casuale X  sia minore o uguale al valore effettivo x:

P
​P[x<=X]​

oppure, ad esempio, se la tua altezza è una variabile casuale con un valore atteso di 5’10 pollici (l’altezza media dei tuoi genitori), la domanda PDF è: “Qual è la probabilità che raggiungerai un’altezza di 5’4″? ” La corrispondente domanda della funzione di distribuzione cumulativa è: “Qual è la probabilità che tu sia più corto di 5’4″? ”

La figura sopra mostrava due distribuzioni normali. Ora puoi vedere che si tratta di grafici della funzione di densità di probabilità (PDF). Se tracciamo nuovamente la stessa distribuzione esatta di una distribuzione cumulativa, otterremo quanto segue:

La distribuzione cumulativa deve eventualmente raggiungere l’1,0 o il 100% sull’asse y. Se alziamo la barra abbastanza in alto, ad un certo punto, praticamente tutti i risultati cadranno sotto quella barra (potremmo dire che la distribuzione è tipicamente asintotica a 1.0).

La finanza, una scienza sociale, non è pulita come le scienze fisiche. La gravità, ad esempio, ha una formula elegante su cui possiamo fare affidamento, più e più volte. I rendimenti delle attività finanziarie, d’altra parte, non possono essere replicati in modo così coerente. Una quantità impressionante di denaro è stata persa nel corso degli anni da persone intelligenti che hanno confuso le distribuzioni accurate (cioè, come se derivassero dalle scienze fisiche) con le approssimazioni disordinate e inaffidabili che cercano di rappresentare i rendimenti finanziari. In finanza, le distribuzioni di probabilità sono poco più che rozze rappresentazioni pittoriche.

Distribuzione uniforme

La distribuzione più semplice e popolare è la distribuzione uniforme, in cui tutti i risultati hanno le stesse possibilità di verificarsi. Un dado a sei facce ha una distribuzione uniforme. Ogni risultato ha una probabilità di circa il 16,67% (1/6). Il nostro grafico sotto mostra la linea continua (così puoi vederla meglio), ma tieni presente che questa è una distribuzione discreta: non puoi tirare 2.5 o 2.11:

Ora, tira due dadi insieme, come mostrato nella figura sotto, e la distribuzione non è più uniforme. Picco a sette, che sembra avere una probabilità del 16,67%. In questo caso, tutti gli altri risultati sono meno probabili:

Ora, lancia tre dadi insieme, come mostrato nella figura sotto. Cominciamo a vedere gli effetti di un teorema più sorprendente: il teorema del limite centrale. Il teorema del limite centrale promette coraggiosamente che la somma o la media di una serie di variabili indipendenti tenderà a diventare normalmente distribuita, indipendentemente dalla loro distribuzione. I nostri dadi sono individualmente uniformi ma combinali e, man mano che aggiungiamo altri dadi, quasi magicamente la loro somma tenderà verso la familiare distribuzione normale.

Distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale riflette una serie di prove “o / o”, come una serie di lanci di monete. Queste sono chiamate prove di Bernoulli, che si riferiscono a eventi che hanno solo due esiti, ma non servono quote pari (50/50). La distribuzione binomiale di seguito traccia una serie di 10 lanci di monete in cui la probabilità di testa è del 50% (p-0,5). Puoi vedere nella figura sotto che la possibilità di lanciare esattamente cinque teste e cinque code (l’ordine non ha importanza) è appena inferiore al 25%:

Se la distribuzione binomiale ti sembra normale, hai ragione su questo. All’aumentare del numero di prove, il binomio tende verso la distribuzione normale.

Distribuzione lognormale

La distribuzione lognormale è molto importante in finanza perché molti dei modelli più popolari presumono che i prezzi delle azioni siano distribuiti lognormalmente. È facile confondere i rendimenti delle attività con i livelli dei prezzi.

I rendimenti degli asset sono spesso trattati come normali: un’azione può aumentare del 10% o diminuire del 10%. I livelli di prezzo sono spesso trattati come lognormali: un’azione da $ 10 può arrivare fino a $ 30 ma non può scendere a – $ 10. La distribuzione lognormale è diversa da zero e inclinata a destra (di nuovo, un titolo non può scendere sotto lo zero ma non ha un limite di rialzo teorico):

Poisson

La distribuzione di Poisson viene utilizzata per descrivere le probabilità di un determinato evento (ad esempio, una perdita giornaliera del portafoglio inferiore al 5%) che si verifica in un intervallo di tempo. Quindi, nell’esempio seguente, assumiamo che alcuni processi operativi abbiano un tasso di errore del 3%. Assumiamo inoltre 100 prove casuali; la distribuzione di Poisson descrive la probabilità di ottenere un certo numero di errori in un certo periodo di tempo, come un singolo giorno.

Student’s T

La distribuzione T dello studente è anche molto popolare perché ha una “coda leggermente più grassa” rispetto alla distribuzione normale. La T dello studente viene utilizzata tipicamente quando la dimensione del nostro campione è piccola (ovvero inferiore a 30). In finanza, la coda sinistra rappresenta le perdite. Pertanto, se la dimensione del campione è piccola, osiamo sottovalutare le probabilità di una grande perdita. La coda più grassa sulla T dello studente ci aiuterà qui. Anche così, accade che la coda grassa di questa distribuzione spesso non sia abbastanza grassa. I rendimenti finanziari tendono a mostrare, in rare occasioni catastrofiche, perdite veramente grasse (cioè più pesanti di quanto previsto dalle distribuzioni). Grandi somme di denaro sono andate perse per questo punto.

Distribuzione beta

Infine, la distribuzione beta (da non confondere con il parametro beta nel modello di determinazione del prezzo delle attività di capitale ) è popolare con i modelli che stimano i tassi di recupero sui portafogli obbligazionari. La distribuzione beta è il lettore di utilità delle distribuzioni. Come il normale, ha bisogno solo di due parametri (alfa e beta), ma possono essere combinati per una notevole flessibilità. Di seguito sono illustrate quattro possibili distribuzioni beta:

La linea di fondo

Come tante scarpe nella nostra scarpiera statistica, cerchiamo di scegliere la misura migliore per l’occasione, ma non sappiamo davvero cosa ci riserva il tempo. Possiamo scegliere una distribuzione normale e poi scoprire che ha sottostimato le perdite della coda sinistra; quindi passiamo a una distribuzione asimmetrica, solo per scoprire che i dati sembrano più “normali” nel periodo successivo. L’elegante matematica sottostante può indurti a pensare che queste distribuzioni rivelino una verità più profonda, ma è più probabile che siano semplici artefatti umani. Ad esempio, tutte le distribuzioni che abbiamo esaminato sono abbastanza regolari, ma alcuni rendimenti degli asset saltano in modo discontinuo.

La distribuzione normale è onnipresente ed elegante e richiede solo due parametri (media e distribuzione). Molte altre distribuzioni convergono verso la normale (ad esempio, binomiale e Poisson). Tuttavia, molte situazioni, come i rendimenti degli hedge fund, i portafogli di crediti e gli eventi di perdita grave, non meritano le normali distribuzioni.