Esplorazione della media mobile ponderata esponenzialmente

La volatilità è la misura più comune del rischio, ma è disponibile in diversi gusti. In un articolo precedente, abbiamo mostrato come calcolare la volatilità storica semplice. In questo articolo, miglioreremo la volatilità semplice e discuteremo la media mobile ponderata esponenzialmente (EWMA).

Volatilità storica vs. volatilità implicita

Per prima cosa, mettiamo questa metrica in una prospettiva. Esistono due approcci generali: volatilità storica e implicita (o implicita). L’approccio storico presuppone che il passato sia un prologo; misuriamo la storia nella speranza che sia predittiva. La volatilità implicita, d’altra parte, ignora la storia; risolve la volatilità implicita dai prezzi di mercato. Si spera che il mercato sappia meglio e che il prezzo di mercato contenga, anche se implicitamente, una stima consensuale della volatilità.

Se ci concentriamo solo sui tre approcci storici (a sinistra sopra), hanno due passaggi in comune:

1. Calcola la serie di rendimenti periodici
2. Applicare uno schema di ponderazione

Innanzitutto, calcoliamo il rendimento periodico. Si tratta in genere di una serie di rendimenti giornalieri in cui ogni rendimento è espresso in termini composti continuamente. Per ogni giorno, prendiamo il logaritmo naturale del rapporto tra i prezzi delle azioni (cioè il prezzo oggi diviso per il prezzo ieri e così via).

Questo produce una serie di rendimenti giornalieri, da u i u i-m, a seconda di quanti giorni (m = giorni) stiamo misurando.

Questo ci porta alla seconda fase: qui è dove i tre approcci differiscono. Nell’articolo precedente, abbiamo mostrato che con un paio di semplificazioni accettabili, la varianza semplice è la media dei rendimenti al quadrato:

Variance=σn2=1m∑io=1mun-12where:m=Number of days measuredn=Day iou=Difference of return from average return\ begin {align} & \ text {Variance} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} {m} \ sum_ {i = 1} ^ mu ^ 2_ {n – 1} \\ & \ textbf {dove:} \\ & m = \ text {Numero di giorni misurati} \\ & n = \ text {Giorno} i \\ & u = \ text {Differenza del rendimento dal rendimento medio} \\ \ end {allineato}​Varianza=σn2​=m

Si noti che questo somma ciascuno dei rendimenti periodici, quindi divide il totale per il numero di giorni o osservazioni (m). Quindi, in realtà è solo una media dei rendimenti periodici al quadrato. In altre parole, a ogni rendimento al quadrato viene dato un peso uguale. Quindi, se alpha (a) è un fattore di ponderazione (in particolare, a = 1 / m), allora una semplice varianza ha un aspetto simile a questo:

L’EWMA migliora con la varianza semplice La debolezza di questo approccio è che tutti i rendimenti guadagnano lo stesso peso. Il rendimento (molto recente) di ieri non ha più influenza sulla varianza rispetto al rendimento del mese scorso. Questo problema viene risolto utilizzando la media mobile ponderata esponenzialmente (EWMA), in cui i rendimenti più recenti hanno un peso maggiore sulla varianza.

La media mobile ponderata esponenzialmente (EWMA) introduce lambda, che è chiamato parametro di livellamento. Lambda deve essere inferiore a uno. In questa condizione, invece di pesi uguali, ogni rendimento al quadrato è ponderato da un moltiplicatore come segue:

Ad esempio, RiskMetricsTM, unasocietà di gestione del rischio finanziario, tende a utilizzare un lambda di 0,94, o 94%. In questo caso, il primo rendimento periodico quadrato (più recente) è ponderato per (1-0,94) (. 94) = 6%. Il successivo rendimento al quadrato è semplicemente un multiplo lambda del peso precedente; in questo caso 6% moltiplicato per 94% = 5,64%. E il peso del terzo giorno precedente è uguale a (1-0,94) (0,94) = 5,30%.

Questo è il significato di “esponenziale” in EWMA: ogni peso è un moltiplicatore costante (cioè lambda, che deve essere inferiore a uno) del peso del giorno precedente. Ciò garantisce una varianza ponderata o distorta rispetto ai dati più recenti. La differenza tra semplicemente volatilità ed EWMA per Google è mostrata di seguito.

La volatilità semplice pesa effettivamente ogni rendimento periodico dello 0,196%, come mostrato nella colonna O (avevamo due anni di dati sui prezzi delle azioni giornalieri. Questo è 509 rendimenti giornalieri e 1/509 = 0,196%). Ma si noti che la colonna P assegna un peso del 6%, quindi del 5,64%, quindi del 5,3% e così via. Questa è l’unica differenza tra varianza semplice ed EWMA.

Ricorda: dopo aver sommato l’intera serie (nella colonna Q) abbiamo la varianza, che è il quadrato della deviazione standard. Se vogliamo la volatilità, dobbiamo ricordarci di prendere la radice quadrata di quella varianza.

Qual è la differenza nella volatilità giornaliera tra la varianza e l’EWMA nel caso di Google? È significativo: la semplice varianza ci ha dato una volatilità giornaliera del 2,4%, ma l’EWMA ha dato una volatilità giornaliera di solo l’1,4% (vedere il foglio di calcolo per i dettagli). Apparentemente, la volatilità di Google si è stabilizzata più di recente; pertanto, una semplice varianza potrebbe essere artificialmente alta.

La varianza odierna è una funzione della varianza del giorno precedente

Noterai che dovevamo calcolare una lunga serie di pesi in declino esponenziale. Non faremo i conti qui, ma una delle migliori caratteristiche dell’EWMA è che l’intera serie si riduce convenientemente a una formula ricorsiva:

Ricorsivo significa che la varianza odierna fa riferimento (cioè è una funzione di) la varianza del giorno precedente. Puoi trovare questa formula anche nel foglio di calcolo e produce lo stesso identico risultato del calcolo a mano! Dice: la varianza di oggi (sotto EWMA) è uguale alla varianza di ieri (ponderata da lambda) più il rendimento al quadrato di ieri (ponderata da uno meno lambda). Nota come stiamo aggiungendo solo due termini insieme: la varianza ponderata di ieri e il rendimento al quadrato ponderato di ieri.

Anche così, lambda è il nostro parametro di levigatura. Un lambda più alto (ad esempio, come il 94% di RiskMetric) indica un decadimento più lento nella serie – in termini relativi, avremo più punti dati nella serie e “cadranno” più lentamente. Se invece riduciamo il lambda, indichiamo un decadimento maggiore: i pesi cadono più rapidamente e, come conseguenza diretta del rapido decadimento, vengono utilizzati meno punti dati. (Nel foglio di calcolo, lambda è un input, quindi puoi sperimentare con la sua sensibilità).

Sommario

La volatilità è la deviazione standard istantanea di un titolo e la metrica di rischio più comune. È anche la radice quadrata della varianza. Possiamo misurare la varianza storicamente o implicitamente (volatilità implicita). Quando si misura storicamente, il metodo più semplice è una semplice varianza. Ma il punto debole della varianza semplice è che tutti i rendimenti hanno lo stesso peso. Quindi ci troviamo di fronte a un classico compromesso: vogliamo sempre più dati ma più dati abbiamo più il nostro calcolo è diluito da dati distanti (meno rilevanti). La media mobile ponderata esponenzialmente (EWMA) migliora sulla varianza semplice assegnando pesi ai rendimenti periodici. In questo modo, possiamo entrambi utilizzare un campione di grandi dimensioni, ma anche dare maggior peso ai rendimenti più recenti.