Modello Black-Scholes

Cos’è il modello Black-Scholes?

Il modello Black-Scholes, noto anche come modello Black-Scholes-Merton (BSM), è un modello matematico per la determinazione del prezzo di un contratto di opzioni. In particolare, il modello stima la variazione nel tempo degli strumenti finanziari.

Punti chiave

• Il modello Black-Scholes Merton (BSM) è un’equazione differenziale utilizzata per risolvere i prezzi delle opzioni.
• Il modello Black-Scholes ha vinto il premio Nobel per l’economia.
• Il modello BSM standard viene utilizzato solo per valutare le opzioni europee in quanto non tiene conto del fatto che le opzioni statunitensi potrebbero essere esercitate prima della data di scadenza.

Comprensione del modello Black Scholes

Il modello di Black-Scholes è uno dei concetti più importanti nella moderna teoria finanziaria. È stato sviluppato nel 1973 da Fischer Black, Robert Merton e Myron Scholes ed è ancora ampiamente utilizzato oggi. È considerato uno dei modi migliori per determinare il giusto prezzo delle opzioni. Il modello di Black-Scholes richiede cinque variabili di input: il prezzo di esercizio di un’opzione, il prezzo corrente dell’azione, il tempo alla scadenza, il tasso privo di rischio e la volatilità.

Chiamato anche Black-Scholes-Merton (BSM), è stato il primo modello ampiamente utilizzato per il prezzo delle opzioni. Viene utilizzato per calcolare il valore teorico delle opzioni utilizzando i prezzi delle azioni correnti, i dividendi attesi, il prezzo di esercizio dell’opzione, i tassi di interesse previsti, il tempo alla scadenza e la volatilità prevista.

L’equazione iniziale è stata introdotta nel documento di Black e Scholes del 1973, “The Pricing of Options and Corporate Liability”, pubblicato sul Journal of Political Economy. Black morì due anni prima che Scholes e Merton ricevessero il Premio Nobel per l’economia nel 1997 per il loro lavoro nella ricerca di un nuovo metodo per determinare il valore dei derivati.(Il premio Nobel non viene assegnato postumo; tuttavia, il comitato del Nobel ha riconosciuto il ruolo di Black nel modello Black-Scholes.)

Black-Scholes ipotizza che gli strumenti, come le azioni oi contratti futures, avranno una distribuzione lognormale dei prezzi a seguito di un cammino casuale con deriva e volatilità costanti. Utilizzando questa ipotesi e tenendo conto di altre importanti variabili, l’equazione ricava il prezzo di un’opzione call in stile europeo.

Gli input per l’equazione di Black-Scholes sono la volatilità, il prezzo dell’attività  sottostante, il  prezzo  di esercizio dell’opzione, il tempo fino alla scadenza dell’opzione e il tasso di interesse privo di rischio . Con queste variabili, è teoricamente possibile per i venditori di opzioni fissare prezzi razionali per le opzioni che stanno vendendo.

Inoltre, il modello prevede che il prezzo delle attività fortemente negoziate segue un moto browniano geometrico con deriva e volatilità costanti. Quando applicato a un’opzione su azioni, il modello incorpora la variazione costante del prezzo del titolo, il valore temporale del denaro, il prezzo di esercizio dell’opzione e il tempo alla scadenza dell’opzione.

Ipotesi di Black-Scholes

Il modello di Black-Scholes fa alcuni presupposti:

• L’opzione è europea e può essere esercitata solo alla scadenza.
• Non vengono pagati dividendi durante la durata dell’opzione.
• I mercati sono efficienti (cioè, i movimenti del mercato non possono essere previsti).
• Non ci sono costi di transazione per l’acquisto dell’opzione.
• Il tasso privo di rischio e la volatilità del sottostante sono noti e costanti.
• I rendimenti dell’attività sottostante sono distribuiti normalmente in registro.

Mentre il modello originale di Black-Scholes non considerava gli effetti dei dividendi pagati durante la durata dell’opzione, il modello è spesso adattato per tenere conto dei dividendi determinando il   valore della data ex dividendo del titolo sottostante. Il modello è anche modificato da molti market maker che vendono opzioni per tenere conto dell’effetto delle opzioni che possono essere esercitate prima della scadenza. In alternativa, le aziende useranno un modello trinomiale o il modello Bjerksund-Stensland  per la determinazione del prezzo delle opzioni in stile americano più comunemente negoziate.

Formula di Black-Scholes

La matematica coinvolta nella formula è complicata e può intimidire. Fortunatamente, non è necessario conoscere o persino comprendere la matematica per utilizzare la modellazione Black-Scholes nelle proprie strategie. I trader di opzioni hanno accesso a una varietà di calcolatori di opzioni online e molte delle piattaforme di trading odierne vantano robusti strumenti di analisi delle opzioni, inclusi indicatori e fogli di calcolo che eseguono i calcoli e generano i valori dei prezzi delle opzioni.

La formula dell’opzione call di Black-Scholes viene calcolata moltiplicando il prezzo delle azioni per la funzione di distribuzione della probabilità normale standard cumulativa. Successivamente, il valore attuale netto (VAN) del prezzo di esercizio moltiplicato per la distribuzione normale standard cumulativa viene sottratto dal valore risultante del calcolo precedente.

In notazione matematica:

Inclinazione della volatilità

Black-Scholes presume che i prezzi delle azioni seguano una distribuzione lognormale perché i prezzi delle attività non possono essere negativi (sono limitati da zero). Questa è anche nota come   distribuzione gaussiana.

Spesso, i prezzi degli asset sono osservate per avere significativi destra  asimmetria  e un certo grado di  curtosi (code grasse). Ciò significa che le mosse al ribasso ad alto rischio si verificano spesso più spesso nel mercato di quanto previsto da una distribuzione normale.

L’ipotesi di prezzi delle attività sottostanti lognormali dovrebbe mostrare che le volatilità implicite sono simili per ogni prezzo di esercizio secondo il modello di Black-Scholes. Tuttavia, dal crollo del mercato del 1987, le volatilità implicite per le opzioni at the money sono state inferiori rispetto a quelle più out of the money o molto in the money. La ragione di questo fenomeno è che il mercato sta prezzando una maggiore probabilità di un’elevata volatilità verso il basso nei mercati.

Ciò ha portato alla presenza dello skew della volatilità. Quando le volatilità implicite per le opzioni con la stessa  data di scadenza  sono mappate su un grafico, è possibile vedere un sorriso o una forma obliqua. Pertanto, il modello di Black-Scholes non è efficiente per il calcolo della volatilità implicita.

Limitazioni del modello Black-Scholes

Come affermato in precedenza, il modello Black-Scholes viene utilizzato solo per quotare le opzioni europee e non tiene conto del fatto che le opzioni statunitensi potrebbero essere esercitate prima della data di scadenza. Inoltre, il modello presume che i dividendi e i tassi privi di rischio siano costanti, ma ciò potrebbe non essere vero nella realtà. Il modello presume inoltre che la volatilità rimanga costante per tutta la durata dell’opzione, il che non è il caso perché la volatilità oscilla con il livello di offerta e domanda.

Inoltre, le altre ipotesi – che non ci sono costi di transazione o tasse; che il tasso di interesse privo di rischio è costante per tutte le scadenze; che è consentita la vendita allo scoperto di titoli con utilizzo dei proventi; e che non ci sono opportunità di arbitraggio prive di rischio – può portare a prezzi che si discostano dal mondo reale in cui sono presenti questi fattori.

Domande frequenti

Cosa fa il modello Black-Scholes?

Black-Scholes, noto anche come Black-Scholes-Merton (BSM), è stato il primo modello ampiamente utilizzato per la determinazione del prezzo delle opzioni. Basandosi sul presupposto che gli strumenti, come le azioni oi contratti futures, avranno una distribuzione lognormale dei prezzi a seguito di una passeggiata aleatoria con deriva e volatilità costanti, e tenendo conto di altre importanti variabili, l’equazione ricava il prezzo di una chiamata in stile europeo opzione. Lo fa sottraendo il valore attuale netto (VAN) del prezzo di esercizio moltiplicato per la distribuzione normale standard cumulativa dal prodotto del prezzo delle azioni e la funzione di distribuzione della probabilità normale standard cumulativa.

Quali sono gli input per il modello Black-Scholes?

Gli input per l’equazione di Black-Scholes sono la volatilità, il prezzo dell’attività sottostante, il prezzo di esercizio dell’opzione, il tempo fino alla scadenza dell’opzione e il tasso di interesse privo di rischio. Con queste variabili, è teoricamente possibile per i venditori di opzioni fissare prezzi razionali per le opzioni che stanno vendendo.

Quali presupposti fa il modello Black-Scholes?

Il modello di Black-Scholes fa alcune ipotesi. Primo fra tutti è che l’opzione è europea e può essere esercitata solo alla scadenza. Altre ipotesi sono che non vengano pagati dividendi durante la durata dell’opzione; i mercati sono efficienti (cioè, i movimenti del mercato non possono essere previsti); che nessun costo di transazione per l’acquisto dell’opzione; che il tasso privo di rischio e la volatilità del sottostante siano noti e costanti; e che i rendimenti dell’attività sottostante siano distribuiti normalmente in registro.

Quali sono i limiti del modello Black-Scholes?

Il modello Black-Scholes viene utilizzato solo per quotare le opzioni europee e non tiene conto del fatto che le opzioni statunitensi potrebbero essere esercitate prima della data di scadenza. Inoltre, il modello presuppone che i dividendi e i tassi privi di rischio siano costanti, ma ciò potrebbe non essere vero nella realtà. Il modello presume inoltre che la volatilità rimanga costante per tutta la durata dell’opzione, il che non è il caso perché la volatilità oscilla con il livello di offerta e domanda.

Inoltre, le altre ipotesi – che non ci sono costi di transazione o tasse; che il tasso di interesse privo di rischio è costante per tutte le scadenze; che è consentita la vendita allo scoperto di titoli con utilizzo dei proventi; e che non ci sono opportunità di arbitraggio prive di rischio – può portare a prezzi che si discostano dal mondo reale in cui sono presenti questi fattori.