Modello di prezzo delle opzioni binomiali

Cos’è il modello di prezzo delle opzioni binomiali?

Il modello di determinazione del prezzo delle opzioni binomiali è un metodo di valutazione delle opzioni sviluppato nel 1979. Il data di scadenza dell’opzione.

Punti chiave

• Il modello di determinazione del prezzo delle opzioni binomiali valuta le opzioni utilizzando un approccio iterativo che utilizza più periodi per valutare le opzioni americane.
• Con il modello, ci sono due possibili risultati con ciascuna iterazione: uno spostamento verso l’alto o uno verso il basso che segue un albero binomiale.
• Il modello è intuitivo e viene utilizzato più frequentemente nella pratica rispetto al noto modello Black-Scholes.

Il modello riduce le possibilità di variazione dei prezzi e rimuove la possibilità di arbitraggio. Un esempio semplificato di un albero binomiale potrebbe assomigliare a questo:

Nozioni di base del modello di prezzo delle opzioni binomiali

Con i modelli di prezzo delle opzioni binomiali, le ipotesi sono che ci siano due possibili risultati, quindi la parte binomiale del modello. Con un modello di prezzo, i due risultati sono uno spostamento verso l’alto o verso il basso. Il principale vantaggio di un modello di prezzo delle opzioni binomiale è che sono matematicamente semplici. Tuttavia questi modelli possono diventare complessi in un modello multi-periodo.

A differenza del modello Black-Scholes, che fornisce un risultato numerico basato sugli input, il modello binomiale consente il calcolo dell’asset e l’opzione per più periodi insieme alla gamma di risultati possibili per ciascun periodo (vedi sotto).

Il vantaggio di questa visualizzazione multi-periodo è che l’utente può visualizzare la variazione del prezzo dell’asset da un periodo all’altro e valutare l’opzione in base alle decisioni prese in diversi momenti. Per un’opzione con sede negli Stati Uniti , che può essere esercitata in qualsiasi momento prima della  data di scadenza, il modello binomiale può fornire informazioni su quando l’esercizio dell’opzione può essere consigliabile e quando dovrebbe essere mantenuta per periodi più lunghi.

Osservando l’  albero binomiale  dei valori, un trader può determinare in anticipo quando  può verificarsi una decisione su un  esercizio. Se l’opzione ha valore positivo, esiste la possibilità di esercizio mentre, se l’opzione ha valore inferiore a zero, dovrebbe essere mantenuta per periodi più lunghi.

Calcolo del prezzo con il modello binomiale

Il metodo di base per calcolare il modello di opzione binomiale consiste nell’utilizzare la stessa probabilità ogni periodo di successo e fallimento  fino alla scadenza dell’opzione. Tuttavia, un trader può incorporare diverse probabilità per ogni periodo in base a nuove informazioni ottenute con il passare del tempo.

Un albero binomiale è uno strumento utile per valutare  le opzioni americane  e le  opzioni incorporate. La sua semplicità è il suo vantaggio e svantaggio allo stesso tempo. L’albero è facile da modellare meccanicamente, ma il problema sta nei possibili valori che l’asset sottostante può assumere in un periodo di tempo. In un modello ad albero binomiale, l’asset sottostante può valere esattamente solo uno dei due valori possibili, il che non è realistico, poiché gli asset possono valere un numero qualsiasi di valori all’interno di un determinato intervallo.

Ad esempio, potrebbe esserci una probabilità del 50/50 che il prezzo dell’asset sottostante possa aumentare o diminuire del 30% in un periodo. Per il secondo periodo, tuttavia, la probabilità che il prezzo dell’asset sottostante aumenti può crescere fino a 70/30.

Ad esempio, se un investitore sta valutando un pozzo petrolifero, quell’investitore non è sicuro di quale sia il valore di quel pozzo petrolifero, ma c’è una probabilità del 50/50 che il prezzo aumenti. Se  fondamentali del mercato ora puntano a continui aumenti dei prezzi del petrolio, la probabilità di un ulteriore apprezzamento del prezzo potrebbe ora essere del 70%. Il modello binomiale consente questa flessibilità; il modello Black-Scholes no.

Esempio reale di modello di prezzo delle opzioni binomiali

Un esempio semplificato di albero binomiale ha solo un passaggio. Supponiamo che ci sia un’azione che ha un prezzo di $ 100 per azione. In un mese, il prezzo di questo titolo aumenterà di $ 10 o scenderà di $ 10, creando questa situazione:

• Prezzo delle azioni = $ 100
• Prezzo delle azioni in un mese (stato in alto) = $ 110
• Prezzo delle azioni in un mese (stato negativo) = $ 90

Quindi, supponi che sia disponibile un’opzione call su questo titolo che scade tra un mese e ha un prezzo di esercizio di $ 100. Nello stato up, questa opzione call vale $ 10 e nello stato down vale $ 0. Il modello binomiale può calcolare quale dovrebbe essere il prezzo dell’opzione call oggi.

A fini di semplificazione, si supponga che un investitore acquisti la metà delle azioni e scriva o venda un’opzione call. L’investimento totale oggi è il prezzo di mezza azione meno il prezzo dell’opzione, e le possibili vincite alla fine del mese sono:

• Costo oggi = $ 50 – prezzo dell’opzione
• Valore del portafoglio (stato in alto) = $ 55 – max ($ 110 – $ 100, 0) = $ 45
• Valore del portafoglio (stato inattivo) = $ 45 – max ($ 90 – $ 100, 0) = $ 45

Il payoff del portafoglio è uguale indipendentemente da come si muove il prezzo delle azioni. Dato questo risultato, supponendo che non ci siano opportunità di arbitraggio, un investitore dovrebbe guadagnare il tasso privo di rischio nel corso del mese. Il costo oggi deve essere pari al payoff scontato al tasso privo di rischio per un mese. L’equazione da risolvere è quindi:

• Prezzo dell’opzione = $ 50 – $ 45 xe ^ (-tasso senza rischio x T), dove e è la costante matematica 2,7183.

Supponendo che il tasso privo di rischio sia del 3% all’anno e che T sia uguale a 0,0833 (uno diviso per 12), il prezzo dell’opzione call oggi è $ 5,11.

Il modello di prezzo delle opzioni binomiale presenta due vantaggi per i venditori di opzioni rispetto al modello di Black-Scholes. Il primo è la sua semplicità, che consente un minor numero di errori nell’applicazione commerciale. Il secondo è il suo funzionamento iterativo, che regola i prezzi in modo tempestivo in modo da ridurre la possibilità per gli acquirenti di eseguire strategie di arbitraggio.

Ad esempio, poiché fornisce un flusso di valutazioni per un derivato per ciascun nodo in un arco di tempo, è utile per valutare i derivati come le opzioni americane, che possono essere eseguiti in qualsiasi momento tra la data di acquisto e la data di scadenza. È anche molto più semplice di altri modelli di prezzo come il modello Black-Scholes.