Durata di Macaulay e durata modificata
La duration di Macaulay e la duration modificata vengono utilizzate principalmente per calcolare le durate delle obbligazioni. La durata di Macaulay calcola il tempo medio ponderato prima che un obbligazionista riceva i flussi di cassa dell’obbligazione. Al contrario, la duration modificata misura la sensibilità al prezzo di un’obbligazione quando si verifica una variazione del rendimento alla scadenza.
Punti chiave
- Esistono diversi modi per avvicinarsi al concetto di durata o alla sensibilità al prezzo di un asset a reddito fisso alle variazioni dei tassi di interesse.
- La durata di Macaulay è la durata media ponderata fino alla scadenza dei flussi di cassa di un’obbligazione ed è spesso utilizzata dai gestori di portafoglio che utilizzano una strategia di immunizzazione.
- La durata modificata di un’obbligazione è una versione rettificata della durata di Macaulay e viene utilizzata per calcolare le variazioni della durata e del prezzo di un’obbligazione per ogni variazione percentuale del rendimento a scadenza.
La durata di Macaulay
La durata di Macaulay è calcolata moltiplicando il periodo di tempo per il pagamento periodico della cedola e dividendo il valore risultante per 1 più il rendimento periodico aumentato fino alla scadenza. Successivamente, il valore viene calcolato per ogni periodo e sommato. Quindi, il valore risultante viene aggiunto al numero totale di periodi moltiplicato per il valore nominale, diviso per 1, più il rendimento periodico elevato al numero totale di periodi. Quindi il valore viene diviso per il prezzo corrente dell’obbligazione.
Il prezzo di un’obbligazione viene calcolato moltiplicando il flusso di cassa per 1, meno 1, diviso per 1, più il rendimento a scadenza, elevato al numero di periodi diviso per il rendimento richiesto. Il valore risultante viene aggiunto al valore nominale, o valore di scadenza, dell’obbligazione diviso per 1, più il rendimento a scadenza aumentato al numero totale di periodi.
Ad esempio, supponiamo che la durata Macaulay di un’obbligazione quinquennale con un valore di scadenza di $ 5.000 e un tasso cedolare del 6% sia 4,87 anni ((1 * 60) / (1 + 0,06) + (2 * 60) / (1 + 0,06) ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0,06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0,06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0,06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0,06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0,06) ^ -5) / (0,06)) + (5000 / (1 + 0,06) ^ 5)).
La duration modificata per questo titolo, con un rendimento a scadenza del 6% per un periodo di cedola, è di 4,59 anni (4,87 / (1 + 0,06 / 1). Pertanto, se il rendimento a scadenza aumenta dal 6% al 7%, il la durata del prestito diminuirà di 0,28 anni (4,87 – 4,59).
La formula per calcolare la variazione percentuale del prezzo dell’obbligazione è la variazione del rendimento moltiplicata per il valore negativo della duration modificata moltiplicata per il 100%. Questa variazione percentuale risultante nell’obbligazione, per un aumento del rendimento dell’1%, è calcolata pari a -4,59% (0,01 * – 4,59 * 100%).
La durata modificata
Modified Duration=Macauley Duration(1+YTMn)where:YTM=yield to maturityn=number of coupon periods per year\ begin {align} & \ text {Modified Duration} = \ frac {\ text {Macauley Duration}} {\ left (1 + \ frac {YTM} {n} \ right)} \\ & \ textbf {dove:} \\ & YTM = \ text {rendimento alla scadenza} \\ & n = \ text {numero di periodi di coupon all’anno} \ end {allineato}Durata modificata=( 1+n
La durata modificata è una versione rettificata della durata di Macaulay, che tiene conto del cambiamento del rendimento in scadenza. La formula per la duration modificata è il valore della duration Macaulay diviso per 1, più il rendimento a scadenza, diviso per il numero di periodi di cedola all’anno. La durata modificata determina le variazioni della durata e del prezzo di un’obbligazione per ogni variazione percentuale del rendimento a scadenza.1
Ad esempio, supponiamo che un’obbligazione di sei anni abbia un valore nominale di $ 1.000 e un tasso cedolare annuale dell’8%. La durata di Macaulay è calcolata in 4,99 anni ((1 * 80) / (1 + 0,08) + (2 * 80) / (1 + 0,08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0,08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0,08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0,08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0,08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0,08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0,08) ^ -6) / 0,08 + 1000 / (1 + 0,08) ^ 6).
La duration modificata per questo titolo, con un rendimento a scadenza dell’8% per un periodo di cedola, è di 4,62 anni (4,99 / (1 + 0,08 / 1). Pertanto, se il rendimento a scadenza aumenta dall’8% al 9%, il la durata dell’obbligazione diminuirà di 0,37 anni (4,99 – 4,62).
La formula per calcolare la variazione percentuale del prezzo dell’obbligazione è la variazione del rendimento moltiplicata per il valore negativo della duration modificata moltiplicata per il 100%. Questa variazione percentuale risultante nell’obbligazione, per un aumento del tasso di interesse dall’8% al 9%, è calcolata essere -4,62% (0,01 * – 4,62 * 100%).
Pertanto, se i tassi di interesse aumentano dell’1% durante la notte, il prezzo dell’obbligazione dovrebbe scendere del 4,62%.
La duration modificata e gli swap sui tassi di interesse
La durata modificata potrebbe essere estesa per calcolare il numero di anni necessari a uno swap su tassi di interesse per rimborsare il prezzo pagato per lo swap. Uno swap su tassi di interesse è lo scambio di un insieme di flussi di cassa con un altro e si basa sulle specifiche del tasso di interesse tra le parti.
La duration modificata viene calcolata dividendo il valore in dollari di una variazione di un punto base di una gamba di swap su tassi di interesse, o serie di flussi di cassa, per il valore attuale della serie di flussi di cassa. Il valore viene quindi moltiplicato per 10.000. La durata modificata per ciascuna serie di flussi di cassa può essere calcolata anche dividendo il valore in dollari di una variazione in punti base della serie di flussi di cassa per il valore nozionale più il valore di mercato. La frazione viene quindi moltiplicata per 10.000.
La durata modificata di entrambe le gambe deve essere calcolata per calcolare la durata modificata dello swap su tassi di interesse. La differenza tra le due durate modificate è la durata modificata dello swap su tassi di interesse. La formula per la durata modificata dello swap su tassi di interesse è la durata modificata della gamba ricevente meno la durata modificata della gamba pagante.
Ad esempio, supponiamo che la banca A e la banca B stipulino uno swap su tassi di interesse. La durata modificata della gamba ricevente di uno swap è calcolata come nove anni e la durata modificata della gamba pagante è calcolata come cinque anni. La durata modificata risultante dello swap su tassi di interesse è di quattro anni (9 anni – 5 anni).
Confronto tra la durata di Macaulay e la durata modificata
Poiché la durata di Macaulay misura il tempo medio ponderato che un investitore deve detenere un’obbligazione fino a quando il valore attuale dei flussi di cassa dell’obbligazione è uguale all’importo pagato per l’obbligazione, viene spesso utilizzata dai gestori di obbligazioni che cercano di gestire il rischio del portafoglio obbligazionario con strategie di immunizzazione.
Al contrario, la duration modificata identifica di quanto cambia la duration per ogni variazione percentuale del rendimento mentre misura quanto una variazione dei tassi di interesse influisce sul prezzo di un’obbligazione. Pertanto, la duration modificata può fornire una misura del rischio agli investitori obbligazionari approssimando quanto il prezzo di un’obbligazione potrebbe diminuire con un aumento dei tassi di interesse. È importante notare che i prezzi delle obbligazioni e i tassi di interesse hanno una relazione inversa tra loro.