Trovare le soluzioni dell’ODE da SDE
Come si trova la soluzione particolare?
Se il termine noto f(x) ha una forma particolare, allora anche la soluzione particolare yp ha una struttura simile al termine noto.
Il termine noto è il seno e/o coseno.
| f(x) | yp | condizioni |
|---|---|---|
| k1·sin(λx)+k2·cos(λx) | x·[A·sin(λx)+B·cos(λx)] | se b=0 e iλ=y è una soluzione dell’equazione caratteristica omogenea ay2+by+c=0 |
Come risolvere le equazioni differenziali?
Sia dato y=uv, dove u e v sono funzioni di x. Calcola il differenziale per ottenere dy/dx = u(dv/dx) + v(du/dx). Sostituisci in dy/dx + Py = Q, per ottenere u(dv/dx) + v(du/dx) + Puv = Q, o u(dv/dx) + (du/dx + Pu)v = Q. Determina u integrando du/dx + Pu = 0, dove le variabili sono separabili.
Come capire equazione differenziale lineare?
Se la funzione è g= 0 allora l’equazione è un’equazione differenziale omogenea lineare. Se f è una funzione di due o più variabili indipendenti (f: X, T → Y) e f (x, t) = y , allora l’equazione è un’equazione differenziale parziale lineare.
Cosa sono le soluzioni costanti di un’equazione differenziale?
Soluzioni costanti: b(x) = xlog x = 0 se e solo se x = 1. Dunque la funzione x(t) = 1 `e soluzione dell’equazione per ogni t ∈ R.
Cosa è una soluzione particolare?
Definizione 2.5 Chiamiamo soluzione particolare di una equazione differenziale un singolo elemento scelto nella soluzione generale. In altri termini una soluzione particolare `e una soluzione dell’equazione che non dipende da parametri.
Come si risolve il problema di Cauchy?
Per risolvere il problema di Cauchy devo trovare tra le infinite soluzioni dell’equazione differenziale quella che soddisfa la condizione iniziale. In pratica devo individuare la funzione y=f(x) che soddisfa l’equazione differenziale e passa per il punto (x0,y0).
Come si fanno le differenziali?
A livello formale, il differenziale assume la seguente forma: d f(x, h) = f’ (x) h, dove f’ corrisponde alla derivata della funzione iniziale, mentre x e h corrispondono a due variabili indipendenti.
Quando un’equazione è differenziale?
Un‘equazione differenziale è un‘equazione in cui l’incognita è la funzione y=f(x) e i termini sono le derivate della funzione stessa.
Quante soluzioni ha un’equazione differenziale?
Chiaramente φ(x) = ex `e una soluzione, ma anche φ(x) = 0 lo `e; di fatto `e immediato verificare che la funzione φ(x) = cex `e una soluzione per ogni scelta del parametro c ∈ R. Questo mostra che `e del tutto normale per un‘equazione differenziale avere infinite soluzioni.
Quando un’equazione differenziale ammette soluzioni costanti?
Ossia, le soluzioni di equazioni differenziali autonome del primo ordine, con secondo membro regolare, se ammettono limite per x → +∞ oppure x → −∞, convergono al valore di una soluzione costante.
Quando un’equazione differenziale E a coefficienti costanti?
Se i coefficienti sono indipendenti da t, quindi se ai(t) = costante con i = 1,2,..n, l’equazione si dice a coefficienti costanti.
Cos’è un’equazione differenziale a variabili separabili?
Un‘equazione differenziale del primo ordine si dice a variabili separabili quando la derivata prima delle funzione incognita (y’) può scriversi come il prodotto di una funzione della sola variabile indipendente x e di una funzione della sola variabile y. dove a(x) e b(y) sono due funzioni continue.