Scommetti in modo più intelligente con la simulazione Monte Carlo
In finanza, esiste una discreta quantità di incertezza e rischio nella stima del valore futuro di cifre o importi a causa dell’ampia varietà di risultati potenziali. La simulazione Monte Carlo (MCS) è una tecnica che aiuta a ridurre l’incertezza coinvolta nella stima dei risultati futuri. L’MCS può essere applicato a modelli complessi e non lineari o utilizzato per valutare l’accuratezza e le prestazioni di altri modelli. Può anche essere implementato nella gestione del rischio, nella gestione del portafoglio, nei derivati sui prezzi, nella pianificazione strategica, nella pianificazione dei progetti, nella modellazione dei costi e in altri campi.
Definizione
La MCS è una tecnica che converte le incertezze nelle variabili di input di un modello in distribuzioni di probabilità. Combinando le distribuzioni e selezionando casualmente i valori da esse, ricalcola più volte il modello simulato e fa emergere la probabilità dell’output.
Caratteristiche di base
- MCS consente di utilizzare più input contemporaneamente per creare la distribuzione di probabilità di uno o più output.
- Agli input del modello possono essere assegnati diversi tipi di distribuzioni di probabilità. Quando la distribuzione è sconosciuta, è possibile scegliere quella che rappresenta la soluzione migliore.
- L’uso di numeri casuali caratterizza la MCS come un metodo stocastico. I numeri casuali devono essere indipendenti; nessuna correlazione dovrebbe esistere tra di loro.
- MCS genera l’output come un intervallo invece di un valore fisso e mostra la probabilità che il valore dell’output si verifichi nell’intervallo.
Alcune distribuzioni di probabilità usate di frequente nella MCS
Distribuzione normale / gaussiana – Distribuzione continua applicata in situazioni in cuivengono fornitela media e la deviazione standard e la media rappresenta il valore più probabile della variabile. È simmetrico rispetto alla media e non è limitato.
Distribuzione lognormale : distribuzione continua specificata dalla media e dalla deviazione standard. Ciò è appropriato per una variabile che va da zero a infinito, con asimmetria positivae con logaritmo naturale normalmente distribuito.
Distribuzione triangolare – Distribuzione continua con valori minimi e massimi fissi. È delimitato dai valori minimo e massimo e può essere simmetrico (il valore più probabile = media = mediana) o asimmetrico.
Distribuzione uniforme : distribuzione continua delimitata da valori minimi e massimi noti. A differenza della distribuzione triangolare, la probabilità che si verifichino i valori tra il minimo e il massimo è la stessa.
Distribuzione esponenziale : distribuzione continua utilizzata per illustrare il tempo tra occorrenze indipendenti, a condizione che la frequenza di occorrenze sia nota.
La matematica dietro la MCS
Considera che abbiamo una funzione a valori reali g (X) con funzione di frequenza di probabilità P (x) (se X è discreta), o funzione di densità di probabilità f (x) (se X è continua). Quindi possiamo definire il valore atteso di g (X) rispettivamente in termini discreti e continui:
gnμ(x)=1n∑i=1ng(xi), which represents the final simulatedvalue of E(g(X)). Therefore gnμ(X)=1n∑i=1ng(X) will be the Monte Carloestimator of E(g(X)). As n→∞,gnμ(X)→E(g(X)),thus we are now able tocompute the dispersion around the estimated mean withthe unbiased variance of gnμ(X):Var(gnμ(X))=1n−1∑i=1n(g(xi)−gnμ(x))2.\begin{aligned}&g^\mu_n(x)=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}g(x_i),\text{ which represents the final simulated}\\&\text{value of }E(g(X)).\\\\&\text{Therefore }g^\mu_n(X)=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}g(X)\text{ will be the Monte Carlo}\\&\text{estimator of }E(g(X)).\\\\&\text{As }n\to\infty, g^\mu_n(X)\to E(g(X)), \text{thus we are now able to}\\&\text{compute the dispersion around the estimated mean with}\\&\text{the unbiased variance of }g^\mu_n(X)\text{:}\\&Var(g^\mu_n(X))=\frac{1}{n-1}\sum^n_{i=1}(g(x_i)-g^\mu_n(x))^2.\end{aligned}gnμ(x)=n
Simple Example
How will the uncertainty in unit price, unit sales and variable costs affect the EBITD?
Copyright Unit Sales)-( Variable Costs + Fixed Costs)
Let us explain the uncertainty in the inputs – unit price, unit sales and variable costs – using triangular distribution, specified by the respective minimum and maximum values of the inputs from the table.
Copyright
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Copyright
Copyright
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Sensitivity Chart
A sensitivity chart can be very useful when it comes to analyzing the effect of the inputs on the output. What it says is that unit sales account for 62% of the variance in the simulated EBITD, variable costs for 28.6% and unit price for 9.4%. The correlation between unit sales and EBITD and between unit price and EBITD is positive or an increase in unit sales or unit price will lead to an increase in EBITD. Variable costs and EBITD, on the other hand, are negatively correlated, and by decreasing variable costs we will increase EBITD.
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Beware that defining the uncertainty of an input value by a probability distribution that does not correspond to the real one and sampling from it will give incorrect results. In addition, the assumption that the input variables are independent might not be valid. Misleading results might come from inputs that are mutually exclusive or if significant correlation is found between two or more input distributions.
The Bottom Line
The MCS technique is straightforward and flexible. It cannot wipe out uncertainty and risk, but it can make them easier to understand by ascribing probabilistic characteristics to the inputs and outputs of a model. It can be very useful for determining different risks and factors that affect forecasted variables and, therefore, it can lead to more accurate predictions. Also note that the number of trials should not be too small, as it might not be sufficient to simulate the model, causing clustering of values to occur.