Verifica di ipotesi in finanza: concetto ed esempi
Il tuo consulente per gli investimenti ti propone un piano di investimento a reddito mensile che promette un rendimento variabile ogni mese. Investirai in esso solo se hai la certezza di un reddito mensile medio di $ 180. Il tuo consulente ti dice anche che negli ultimi 300 mesi, lo schema ha avuto ritorni sugli investimenti con un valore medio di $ 190 e una deviazione standard di $ 75. Dovresti investire in questo schema? La verifica delle ipotesi viene in aiuto per tale processo decisionale.
Punti chiave
- Il test di ipotesi è uno strumento matematico per confermare un’affermazione o un’idea finanziaria o aziendale.
- Il test di ipotesi è utile per gli investitori che cercano di decidere in cosa investire e se è probabile che lo strumento fornisca un rendimento soddisfacente.
- Nonostante l’esistenza di diverse metodologie di verifica delle ipotesi, vengono utilizzati gli stessi quattro passaggi: definire l’ipotesi, impostare i criteri, calcolare la statistica e giungere a una conclusione.
- Questo modello matematico, come la maggior parte degli strumenti e dei modelli statistici, ha dei limiti ed è soggetto a determinati errori, che richiedono agli investitori di considerare anche altri modelli insieme a questo
Che cos’è il test di ipotesi?
Il test di ipotesi o significatività è un modello matematico per testare un’affermazione, un’idea o un’ipotesi su un parametro di interesse in un dato insieme di popolazione, utilizzando i dati misurati in un insieme campione. I calcoli vengono eseguiti su campioni selezionati per raccogliere informazioni più decisive sulle caratteristiche dell’intera popolazione, il che consente un modo sistematico di testare affermazioni o idee sull’intero set di dati.
Ecco un semplice esempio: il preside di una scuola riferisce che gli studenti della loro scuola ottengono una media di 7 su 10 negli esami. Per verificare questa “ipotesi”, registriamo i voti di diciamo 30 studenti (campione) dall’intera popolazione studentesca della scuola (diciamo 300) e calcoliamo la media di quel campione. Possiamo quindi confrontare la media (calcolata) del campione con la media (riportata) della popolazione e tentare di confermare l’ipotesi.
Per fare un altro esempio, il rendimento annuo di un particolare fondo comune di investimento è dell’8%. Supponiamo che il fondo comune di investimento esista da 20 anni. Prendiamo un campione casuale di rendimenti annuali del fondo comune di investimento per, diciamo, cinque anni (campione) e calcoliamo la sua media. Quindi confrontiamo la media del campione (calcolata) con la media della popolazione (dichiarata) per verificare l’ipotesi.
Questo articolo presume che i lettori abbiano familiarità con i concetti di una normale tabella di distribuzione, formula, valore p e le relative basi di statistica.
Esistono diverse metodologie per la verifica delle ipotesi, ma sono coinvolti gli stessi quattro passaggi fondamentali:
Passaggio 1: definizione dell’ipotesi
Di solito, il valore riportato (o la statistica del reclamo) è dichiarato come l’ipotesi e si presume essere vero. Per gli esempi precedenti, l’ipotesi sarà:
- Esempio A: gli studenti della scuola ottengono una media di 7 su 10 negli esami.
- Esempio B: Il rendimento annuo del fondo comune di investimento è dell’8% annuo.
Questa descrizione dichiarata costituisce l ‘” ipotesi nulla (H 0 ) ” e si presume essere vera – il modo in cui un imputato in un processo con giuria è presunto innocente fino a prova contraria dalle prove presentate in tribunale. Allo stesso modo, la verifica delle ipotesi inizia affermando e assumendo una ” ipotesi nulla “, quindi il processo determina se è probabile che l’assunzione sia vera o falsa.
Il punto importante da notare è che stiamo testando l’ipotesi nulla perché c’è un elemento di dubbio sulla sua validità. Qualunque informazione contraria all’ipotesi nulla dichiarata viene catturata nell’ipotesi alternativa (H 1 ). Per gli esempi precedenti, l’ipotesi alternativa sarà:
- Gli studenti ottengono una media che non è uguale a 7.
- Il rendimento annuo del fondo comune di investimento non è pari all’8% annuo.
In altre parole, l’ipotesi alternativa è una contraddizione diretta dell’ipotesi nulla.
Come in un processo, la giuria presume l’innocenza dell’imputato (ipotesi nulla). Il pubblico ministero deve provare il contrario (ipotesi alternativa). Allo stesso modo, il ricercatore deve dimostrare che l’ipotesi nulla è vera o falsa. Se il pubblico ministero non riesce a dimostrare l’ipotesi alternativa, la giuria deve rilasciare l’imputato (basando la decisione sull’ipotesi nulla). Allo stesso modo, se il ricercatore non riesce a dimostrare un’ipotesi alternativa (o semplicemente non fa nulla), si presume che l’ipotesi nulla sia vera.
I criteri decisionali devono essere basati su determinati parametri dei set di dati.
Passaggio 2: impostare i criteri
I criteri decisionali devono essere basati su determinati parametri dei set di dati ed è qui che entra in gioco il collegamento alla distribuzione normale.
Secondo il postulato delle statistiche standard sulla distribuzione del campionamento, “Per qualsiasi dimensione del campione n, la distribuzione campionaria di X̅ è normale se la popolazione X da cui viene estratto il campione è normalmente distribuita.” Quindi, le probabilità di tutti gli altri possibili campioni significano che uno potrebbe selezionare sono normalmente distribuite.
Ad esempio, determinare se il rendimento medio giornaliero, di qualsiasi azione quotata sul mercato azionario XYZ, intorno a Capodanno è maggiore del 2%.
H 0 : Ipotesi nulla: media = 2%
H 1 : Ipotesi alternativa: media> 2% (questo è ciò che vogliamo dimostrare)
Prendi il campione (diciamo di 50 azioni su un totale di 500) e calcola la media del campione.
Per una distribuzione normale, il 95% dei valori si trova entro due deviazioni standard della media della popolazione. Quindi, questa distribuzione normale e l’ipotesi limite centrale per il set di dati campione ci consente di stabilire il 5% come livello di significatività. Ha senso in quanto, in questa ipotesi, c’è meno del 5% di probabilità (100-95) di ottenere valori anomali che sono oltre due deviazioni standard dalla media della popolazione. A seconda della natura dei set di dati, altri livelli di significatività possono essere presi all’1%, 5% o 10%. Per i calcoli finanziari (inclusa la finanza comportamentale), il 5% è il limite generalmente accettato. Se troviamo dei calcoli che vanno oltre le solite due deviazioni standard, allora abbiamo un forte caso di valori anomali per rifiutare l’ipotesi nulla.
Graficamente, è rappresentato come segue:
Nell’esempio precedente, se la media del campione è molto maggiore del 2% (diciamo 3,5%), rifiutiamo l’ipotesi nulla. Viene accettata l’ipotesi alternativa (media> 2%), che conferma che il rendimento medio giornaliero delle azioni è effettivamente superiore al 2%.
Tuttavia, se è probabile che la media del campione non sia significativamente maggiore del 2% (e rimanga, diciamo, intorno al 2,2%), NON POSSIAMO rifiutare l’ipotesi nulla. La sfida arriva su come decidere su casi così ravvicinati. Per trarre una conclusione da campioni e risultati selezionati, è necessario determinare un livello di significatività che consenta di trarre una conclusione sull’ipotesi nulla. L’ipotesi alternativa consente di stabilire il livello di significatività o il concetto di “valore critico” per decidere su tali casi ravvicinati.
Secondo ladefinizione standard dei libri di testo, “Un valore critico è un valore limite che definisce i limiti oltre i quali è possibile ottenere meno del 5% delle medie campionarie se l’ipotesi nulla è vera. Le medie campionarieottenute oltre un valore critico determineranno la decisione di rifiutare l’ipotesi nulla. ” Nell’esempio precedente, se abbiamo definito il valore critico come 2,1% e la media calcolata arriva a 2,2%, rifiutiamo il ipotesi nulla Un valore critico stabilisce una chiara demarcazione circa l’accettazione o il rifiuto.
Passaggio 3: calcolare la statistica
Questa fase prevede il calcolo delle cifre richieste, note come statistiche del test (come media, punteggio z, valore p, ecc.) Per il campione selezionato. (Ci arriveremo in una sezione successiva.)
Passaggio 4: raggiungere una conclusione
Con i valori calcolati, decidere sull’ipotesi nulla. Se la probabilità di ottenere una media campionaria è inferiore al 5%, la conclusione è di rifiutare l’ipotesi nulla. Altrimenti, accetta e mantieni l’ipotesi nulla.
Tipi di errori
Ci possono essere quattro possibili risultati nel processo decisionale basato sul campione, per quanto riguarda la corretta applicabilità all’intera popolazione:
I casi “corretti” sono quelli in cui le decisioni prese sui campioni sono realmente applicabili a tutta la popolazione. I casi di errore sorgono quando si decide di mantenere (o rifiutare) l’ipotesi nulla sulla base dei calcoli campionari, ma tale decisione non si applica realmente all’intera popolazione. Questi casi costituiscono errori di tipo 1 ( alfa ) e di tipo 2 ( beta ), come indicato nella tabella sopra.
La selezione del valore critico corretto consente di eliminare gli errori alfa di tipo 1 o di limitarli a un intervallo accettabile.
Alpha denota l’errore sul livello di significatività ed è determinato dal ricercatore. Per mantenere la significatività standard del 5% o il livello di confidenza per i calcoli di probabilità, questo viene mantenuto al 5%.
Secondo i parametri di riferimento e le definizioni decisionali applicabili:
- “Questo criterio (alfa) è solitamente impostato a 0,05 (a = 0,05) e confrontiamo il livello alfa con il valore p. Quando la probabilità di un errore di Tipo I è inferiore al 5% (p <0,05), decidiamo di rifiutare l’ipotesi nulla;in caso contrario, conserviamo l’ipotesi nulla “.
- Il termine tecnico utilizzato per questa probabilità è ilvalore p.È definita come “la probabilità di ottenere un risultato campione, dato che il valore dichiarato nell’ipotesi nulla è vero. Il valore p per ottenere un risultato campione viene confrontato con il livello di significatività. “
- Un errore di Tipo II, o errore beta, è definito come la probabilità di mantenere erroneamente l’ipotesi nulla, quando di fatto non è applicabile all’intera popolazione.
Alcuni altri esempi dimostreranno questo e altri calcoli.
Esempio 1
Esiste uno schema di investimento a reddito mensile che promette rendimenti mensili variabili. Un investitore vi investirà solo se gli viene assicurato un reddito mensile medio di $ 180. L’investitore ha un campione di rendimenti di 300 mesi che ha una media di $ 190 e una deviazione standard di $ 75. Dovrebbero investire in questo schema?
Impostiamo il problema. L’investitore investirà nello schema se ha la certezza del rendimento medio desiderato di $ 180 dell’investitore.
H 0 : Ipotesi nulla: media = 180
H 1 : Ipotesi alternativa: media> 180
Metodo 1: approccio al valore critico
Identificare un valore critico X L per la media campionaria, che è abbastanza grande da rifiutare l’ipotesi nulla, ovvero rifiutare l’ipotesi nulla se la media campionaria> = valore critico X L
P (identifica un errore alfa di tipo I) = P (rifiuta H 0 dato che H 0 è vero),
Ciò si otterrebbe quando la media campionaria supera i limiti critici.
= P (dato che H 0 è vero) = alfa
Graficamente, appare come segue:
Prendendo alfa = 0,05 (ovvero livello di significatività del 5%), Z 0,05 = 1,645 (dalla tabella Z o dalla tabella di distribuzione normale)
=> X L = 180 + 1,645 * (75 / sqrt (300)) = 187,12
Poiché la media campionaria (190) è maggiore del valore critico (187,12), l’ipotesi nulla viene rifiutata e la conclusione è che il rendimento medio mensile è effettivamente maggiore di $ 180, quindi l’investitore può considerare di investire in questo schema.
Metodo 2: utilizzo di statistiche di test standardizzate
Si può anche usare il valore standardizzato z.
Statistica del test, Z = (media del campione – media della popolazione) / (std-dev / sqrt (n. Di campioni).
Quindi, la regione di rifiuto diventa la seguente:
Z = (190-180) / (75 / sqrt (300)) = 2,309
La nostra regione di rifiuto al livello di significatività del 5% è Z> Z 0,05 = 1,645.
Poiché Z = 2.309 è maggiore di 1.645, l’ipotesi nulla può essere rifiutata con una conclusione simile sopra menzionata.
Metodo 3: calcolo del valore P.
Ci proponiamo di identificare P (media campionaria> = 190, quando media = 180).
= P (Z> = (190-180) / (75 / sqrt (300))
= P (Z> = 2,309) = 0,0084 = 0,84%
La tabella seguente per dedurre i calcoli del valore p conclude che esistono prove confermate di rendimenti mensili medi superiori a 180:
Esempio 2
Un nuovo agente di borsa (XYZ) afferma che le sue commissioni di intermediazione sono inferiori a quelle del tuo attuale agente di borsa (ABC). I dati disponibili da una società di ricerca indipendente indicano che la media e lo std-dev di tutti i clienti dei broker ABC sono rispettivamente di $ 18 e $ 6.
Viene preso un campione di 100 clienti di ABC e le spese di intermediazione vengono calcolate con le nuove tariffe del broker XYZ. Se la media del campione è $ 18,75 e lo std-dev è lo stesso ($ 6), è possibile dedurre la differenza nella fattura media di intermediazione tra il broker ABC e XYZ?
H 0 : Ipotesi nulla: media = 18
H 1 : Ipotesi alternativa: media 18 (questo è ciò che vogliamo dimostrare).
Regione di rifiuto: Z = Z 2,5 (assumendo un livello di significatività del 5%, diviso 2,5 ciascuno su entrambi i lati).
Z = (media campione – media) / (dev-std / sqrt (numero di campioni))
= (18,75 – 18) / (6 / (sqrt (100)) = 1,25
Questo valore Z calcolato è compreso tra i due limiti definiti da:
– Z 2,5 = -1,96 e Z 2,5 = 1,96.
Ciò conclude che non ci sono prove sufficienti per dedurre che ci sia qualche differenza tra le tariffe del tuo broker esistente e del nuovo broker.
In alternativa, il valore p = P (Z 1,25)
= 2 * 0,1056 = 0,2112 = 21,12% che è maggiore di 0,05 o 5%, portando alla stessa conclusione.
Graficamente, è rappresentato da quanto segue:
Punti critici per il metodo di test ipotetico:
- Un metodo statistico basato su ipotesi
- Soggetto a errori come descritto in dettaglio in termini di errori alpha e beta
- L’interpretazione del valore p può essere ambigua, portando a risultati confusi
La linea di fondo
Il test di ipotesi consente a un modello matematico di convalidare un’affermazione o un’idea con un certo livello di fiducia. Tuttavia, come la maggior parte degli strumenti e dei modelli statistici, è vincolato da alcune limitazioni. L’uso di questo modello per prendere decisioni finanziarie dovrebbe essere considerato con un occhio critico, tenendo presente tutte le dipendenze. Vale la pena esplorare anche metodi alternativi come l’inferenza bayesiana per un’analisi simile.