Teoria dei giochi: oltre le basi
Utilizzando la teoria dei giochi, è possibile delineare scenari del mondo reale per situazioni come la concorrenza sui prezzi e il rilascio di prodotti (e molti altri) e prevedere i loro risultati. Le aziende che utilizzano (e si attengono a) questo dispositivo per determinare l’ equilibrio di Nash vedono un enorme vantaggio nelle loro strategie di budget. (Vedi anche: Le basi della teoria dei giochi.)
Di chi è il turno?
Mentre le partite sequenziali vengono giocate a turno, le partite simultanee vengono giocate con ogni giocatore che prende la propria decisione nello stesso momento. Con i giochi simultanei, non usiamo più il metodo introduttivo comune dell’induzione all’indietro. I sostenitori della teoria dei giochi spesso elencano i diversi risultati in quella che viene chiamata matrice (sotto).
Questa matrice viene definita forma normale. Le scelte del giocatore sono mostrate sull’asse verticale sinistro e le scelte del giocatore due sono mostrate sull’asse orizzontale superiore. Le vincite per ogni giocatore sono nelle loro intersezioni corrispondenti e sono visualizzate come segue (giocatore uno, giocatore due).
L’equilibrio di Nash
Nash Equilibrium è un risultato raggiunto che, una volta raggiunto, significa che nessun giocatore può aumentare il payoff modificando unilateralmente le decisioni. Può anche essere pensato come “nessun rimpianto”, nel senso che una volta presa una decisione, il giocatore non avrà rimpianti riguardo alle decisioni considerando le conseguenze.
L’equilibrio di Nash viene raggiunto nel tempo, nella maggior parte dei casi. Tuttavia, una volta raggiunto l’equilibrio di Nash, non verrà deviato. Dopo aver appreso come trovare l’equilibrio di Nash, dai un’occhiata a come una mossa unilaterale influenzerebbe la situazione. Ha senso? Non dovrebbe, ed è per questo che l’equilibrio di Nash è descritto come “nessun rimpianto”.
Trovare gli equilibri di Nash
Fase uno: determinare la migliore risposta del giocatore alle azioni del giocatore due. Quando si esaminano le scelte che possono massimizzare la vincita di un giocatore, dobbiamo guardare a come il giocatore uno dovrebbe rispondere a ciascuna delle opzioni che il giocatore due ha. Un modo semplice per farlo visivamente è nascondere le scelte del giocatore due. Considera la matrice ritratta all’inizio di questo articolo mentre applichiamo questo metodo.
Il giocatore uno ha due scelte possibili per giocare: “su” o “giù”. Il giocatore due ha anche due scelte per giocare: “sinistra” o “destra”. In questa fase di determinazione dell’equilibrio di Nash, esaminiamo le risposte alle azioni del giocatore due. Se il giocatore due sceglie di giocare “a sinistra”, possiamo giocare “su” con la vincita di 1, o giocare “giù” con la vincita di 3. Poiché 3 è maggiore di 1, metteremo in grassetto il 3 indicando l’opzione di giocare “qui sotto.
Se il giocatore due sceglie di giocare “bene”, possiamo scegliere di giocare “su” per una vincita di 4 o giocare “giù” per un playoff di 3. Poiché 4 è maggiore di 3, mettiamo in grassetto il 4 per indicare l’opzione per giocare “su” qui. I risultati in grassetto sono mostrati di seguito nella matrice completa.
Fase due: determinare la migliore risposta del giocatore due alle proprie azioni. Come abbiamo fatto in precedenza con le vincite del giocatore due per il giocatore uno, nasconderemo le vincite del giocatore uno quando determineremo le migliori risposte per il giocatore due. (Vedi anche: Leading Indicators of Behavioral Finance.)
Proprio come quando si guarda al giocatore uno, ogni giocatore ha due scelte per giocare. Se il giocatore uno sceglie di giocare “in alto”, possiamo giocare “a sinistra”, con una vincita di 3, o “a destra”, con una vincita di 2. Poiché 3 è maggiore di 2, mettiamo in grassetto il 3 per mostrare l’opzione per gioca a “sinistra” qui. Se il giocatore uno sceglie di giocare “down”, possiamo giocare “left”, per una vincita di 2, o “right”, per una vincita di 1. Poiché 2 è maggiore di 1, mettiamo in grassetto il 2 che indica l’opzione di giocare “sinistra” qui. I risultati in grassetto sono mostrati di seguito nella matrice completa.
Fase tre: determinare quali risultati hanno entrambi i payoff in grassetto. Quel particolare risultato è l’equilibrio di Nash. Ora combiniamo le opzioni audaci per entrambi i giocatori sulla matrice completa.
Cerca gli incroci in cui entrambi i guadagni sono in grassetto. In questo caso, troviamo che l’intersezione di (Giù, Sinistra) con la vincita di (3, 2) corrisponde ai nostri criteri. Questo indica il nostro equilibrio di Nash.
Questo metodo per trovare l’equilibrio di Nash è adatto per trovare equilibri in giochi simultanei poiché stiamo osservando come un giocatore risponderebbe indipendentemente da come agisce l’altro. Questo scenario di un gioco simultaneo è spesso giocato in aziende come le compagnie aeree. Di seguito è riportato un esempio, simile al gioco sopra, di come potrebbero funzionare i prezzi delle compagnie aeree. I pagamenti sono in migliaia di dollari. Ricorda, questi sono i pagamenti, non i prezzi. Il metodo che abbiamo applicato in precedenza è già applicato per mostrare dove appare l’equilibrio di Nash.
Guardando solo le scelte di A1 possiamo vedere che se A2 sceglie di giocare a prezzo basso, scegliamo tra prezzo basso per 3.000 o prezzo alto per 2.000. Scegliamo basso, da 3.000> 2.000. Facciamo la stessa cosa per A2 giocando a prezzo alto e vediamo che suoniamo basso perché 4.000> 3.500. Al contrario, guardando solo le scelte di A2, possiamo vedere che se A1 sceglie di giocare a prezzo basso, scegliamo tra “prezzo basso” per 3.000 e “prezzo alto” per 2.000. Da 3.000> 2.000, scegliamo qui l’opzione prezzo basso. Se A1 riproduce un prezzo alto, possiamo addebitare un prezzo basso per 4.000 o un prezzo alto per 3.500. Da 4.000> 3.500, scegliamo di giocare a prezzi bassi qui.
L’equilibrio di Nash è che entrambe le compagnie aeree applicheranno un prezzo basso (mostrato quando vengono evidenziate le scelte per ciascuna parte). Se entrambe le compagnie aeree facessero pagare un prezzo elevato, ciascuna di esse starebbe meglio di quanto non sia all’equilibrio di Nash.
Allora perché non accettano di farlo? Prima di tutto, è illegale colludere. In secondo luogo, se ciò dovesse accadere, un’azione unilaterale da parte di una compagnia aerea per applicare un prezzo basso sarebbe vantaggiosa, con il risultato che quella compagnia aerea farebbe più soldi a sua volta. Questa logica mostra anche come viene raggiunto l’equilibrio di Nash e perché non è vantaggioso deviarlo una volta raggiunto. (Vedi anche: Finanza comportamentale.)
Equilibri di Nash multipli
In generale, può esserci più di un equilibrio in un gioco. Tuttavia, questo di solito si verifica in giochi con elementi più complessi rispetto a due scelte di due giocatori. Nei giochi simultanei che si ripetono nel tempo, uno di questi equilibri multipli viene raggiunto dopo alcuni tentativi ed errori. Questo scenario di scelte diverse nel tempo prima del raggiungimento dell’equilibrio è il più spesso giocato nel mondo degli affari quando due aziende determinano i prezzi per prodotti altamente intercambiabili, come il biglietto aereo o le bevande analcoliche.
La linea di fondo
Con questi metodi avanzati, è possibile modellare e risolvere più situazioni del mondo reale. I diversi tipi di Nash Equilibria di cui abbiamo discusso sono le soluzioni più comunemente trovate per i giochi modellati nel mondo reale. Una conoscenza pratica della teoria dei giochi può aiutarti a formare una strategia, sia giocando a tris o gareggiando per i maggiori profitti.