Abbattere il modello binomiale per valutare un’opzione

Nel mondo finanziario, i modelli di valutazione delle opzioni binomiali e di Black-Scholes sono due dei concetti più importanti nella moderna teoria finanziaria. Entrambi sono usati per

Alcuni dei vantaggi fondamentali dell’utilizzo del modello binomiale sono:

• Una visione di più periodi
• Trasparenza
• Capacità di incorporare le probabilità

In questo articolo, esploreremo i vantaggi dell’utilizzo del modello binomiale invece del modello di Black-Scholes e forniremo alcuni passaggi di base per sviluppare il modello e spiegheremo come viene utilizzato.

Visualizzazione a più periodi

Il modello binomiale fornisce una visione multi-periodo del prezzo dell’asset sottostante e del prezzo dell’opzione. A differenza del modello Black-Scholes, che fornisce un risultato numerico basato sugli input, il modello binomiale consente il calcolo dell’asset e l’opzione per più periodi insieme alla gamma di risultati possibili per ciascun periodo (vedi sotto).

Il vantaggio di questa visualizzazione multi-periodo è che l’utente può visualizzare la variazione del prezzo dell’asset da un periodo all’altro e valutare l’opzione in base alle decisioni prese in diversi momenti. Per un’opzione con sede negli Stati Uniti, che può essere esercitata in qualsiasi momento prima della data di scadenza, il modello binomiale può fornire informazioni su quando esercitare l’opzione può essere consigliabile e quando dovrebbe essere detenuta per periodi più lunghi. Osservando l’ albero binomiale dei valori, un trader può determinare in anticipo quando può verificarsi una decisione su un esercizio. Se l’opzione ha valore positivo, esiste la possibilità di esercizio mentre, se l’opzione ha valore inferiore a zero, dovrebbe essere mantenuta per periodi più lunghi.

Trasparenza

Strettamente correlato alla revisione multi-periodo è la capacità del modello binomiale di fornire trasparenza sul valore sottostante dell’asset e l’opzione con il passare del tempo. Il modello Black-Scholes ha cinque input:

1. Il tasso privo di rischio
2. Il prezzo di esercizio
3. Il prezzo corrente dell’asset
4. Tempo alla maturità
5. La volatilità implicita del prezzo dell’asset

Quando questi punti dati vengono inseriti in un modello Black-Scholes, il modello calcola un valore per l’opzione, ma gli impatti di questi fattori non vengono rivelati su base periodo per periodo. Con il modello binomiale, un trader può vedere la variazione del prezzo dell’asset sottostante da periodo a periodo e la corrispondente variazione del prezzo dell’opzione.

Incorporare le probabilità

Il metodo di base per calcolare il modello di opzioni binomiali consiste nell’utilizzare la stessa probabilità ogni periodo di successo e fallimento fino alla scadenza dell’opzione. Tuttavia, un trader può incorporare diverse probabilità per ogni periodo in base a nuove informazioni ottenute con il passare del tempo.

Ad esempio, potrebbe esserci una probabilità del 50/50 che il prezzo dell’asset sottostante possa aumentare o diminuire del 30% in un periodo. Per il secondo periodo, tuttavia, la probabilità che il prezzo dell’asset sottostante aumenti può crescere fino a 70/30. Ad esempio, se un investitore sta valutando un pozzo petrolifero, quell’investitore non è sicuro di quale sia il valore di quel pozzo petrolifero, ma c’è una probabilità del 50/50 che il prezzo salga. Se i prezzi del petrolio aumentano nel periodo 1, rendendo il pozzo più prezioso e i fondamentali del mercato ora puntano a continui aumenti dei prezzi del petrolio, la probabilità di un ulteriore apprezzamento del prezzo potrebbe ora essere del 70%. Il modello binomiale consente questa flessibilità; il modello Black-Scholes no.

Sviluppo del modello

Il modello binomiale più semplice avrà due rendimenti attesi le cui probabilità si sommano fino al 100 percento. Nel nostro esempio, ci sono due possibili risultati per il pozzo petrolifero in ogni momento. Una versione più complessa potrebbe avere tre o più risultati diversi, a ciascuno dei quali viene assegnata una probabilità di accadimento.

Per calcolare i rendimenti per periodo a partire dal tempo zero (ora), dobbiamo determinare il valore dell’asset sottostante un periodo da adesso. In questo esempio, assumiamo quanto segue:

• Prezzo dell’asset sottostante (P): $ 500
• Prezzo di esercizio dell’opzione call (K): $ 600
• Tasso privo di rischio per il periodo: 1 percento
• Variazione del prezzo in ogni periodo: 30% in più o in meno

Il prezzo dell’asset sottostante è di $ 500 e, nel Periodo 1, può valere $ 650 o $ 350. Sarebbe l’equivalente di un aumento o una diminuzione del 30% in un periodo. Poiché il prezzo di esercizio delle opzioni call in nostro possesso è di $ 600, se l’attività sottostante finisce per essere inferiore a $ 600, il valore dell’opzione call sarebbe zero. D’altra parte, se l’attività sottostante supera il prezzo di esercizio di $ 600, il valore dell’opzione call sarebbe la differenza tra il prezzo dell’attività sottostante e il prezzo di esercizio. La formula per questo calcolo è [max (PK), 0].

Supponiamo che ci sia una probabilità del 50% di salire e una probabilità del 50% di scendere. Utilizzando i valori del Periodo 1 come esempio, questo viene calcolato come

max⁡
​max[($650-$600),0]∗0.5+max[($350-$600),0]∗0.5=$50∗0.5+$0=$25​

Per ottenere il valore corrente dell’opzione call, dobbiamo scontare i $ 25 nel Periodo 1 al Periodo 0, che è

Ora puoi vedere che se le probabilità vengono modificate, cambierà anche il valore atteso dell’asset sottostante. Se la probabilità deve essere modificata, può essere modificata anche per ogni periodo successivo e non deve necessariamente rimanere la stessa per tutto il tempo.

Il modello binomiale può essere esteso facilmente a più periodi. Sebbene il modello di Black-Scholes possa calcolare il risultato di una data di scadenza estesa, il modello binomiale estende i punti di decisione a più periodi.

Utilizza per il modello binomiale

Oltre al suo utilizzo come metodo per calcolare il valore di un’opzione, il modello binomiale può essere utilizzato anche per progetti o investimenti con un alto grado di incertezza, decisioni di capital budgeting e allocazione delle risorse e progetti con più periodi o un opzione incorporata per continuare o abbandonare il progetto in determinati momenti.

Un semplice esempio è un progetto che prevede trivellazioni petrolifere. L’incertezza di questo tipo di progetto se la terra che viene perforata ha del petrolio, la quantità di petrolio che può essere perforata, se il petrolio viene trovato e il prezzo a cui il petrolio può essere venduto una volta estratto.

Il modello di opzione binomiale può aiutare a prendere decisioni in ogni punto del progetto di trivellazione petrolifera. Ad esempio, supponiamo di decidere di perforare, ma il pozzo petrolifero sarà redditizio solo se troviamo abbastanza petrolio e il prezzo del petrolio supera una certa quantità. Ci vorrà un intero periodo per determinare la quantità di petrolio che possiamo estrarre e il prezzo del petrolio in quel momento. Dopo il primo periodo (un anno, ad esempio), possiamo decidere in base a questi due punti dati se continuare a perforare o abbandonare il progetto. Queste decisioni possono essere prese continuamente fino a quando non si raggiunge un punto in cui non ha valore la perforazione, momento in cui il pozzo verrà abbandonato.

La linea di fondo

Il modello binomiale offre una visione più dettagliata consentendo visualizzazioni multi-periodo del prezzo dell’asset sottostante e del prezzo dell’opzione per più periodi, nonché la gamma di possibili risultati per ciascun periodo. Mentre sia il modello di Black-Scholes che il modello binomiale possono essere utilizzati per valutare le opzioni, il modello binomiale ha una gamma più ampia di applicazioni, è più intuitivo ed è più facile da usare.