Gli usi e i limiti della volatilità
Agli investitori piace concentrarsi sulla promessa di rendimenti elevati, ma dovrebbero anche chiedere quanto rischio devono assumersi in cambio di questi rendimenti. Sebbene si parli spesso di rischio in senso generale, esistono anche espressioni formali del rapporto rischio-rendimento.
Ad esempio, l’ indice di Sharpe misura il rendimento in eccesso per unità di rischio, dove il rischio è calcolato come volatilità, che è una misura di rischio tradizionale e popolare. Le sue proprietà statistiche sono ben note e si inserisce in diversi framework, come la moderna teoria del portafoglio e il modello di Black-Scholes. In questo articolo, esaminiamo la volatilità per comprenderne gli usi ei suoi limiti.
Deviazione standard annualizzata
A differenza della volatilità implicita, che appartiene alla teoria del prezzo delle opzioni ed è una stima lungimirante basata su un consenso di mercato, la volatilità regolare guarda all’indietro. In particolare, è la deviazione standard annualizzata dei rendimenti storici.
I tradizionali quadri di rischio che si basano sulla deviazione standard generalmente presumono che i rendimenti siano conformi a una normale distribuzione a campana. Le distribuzioni normali ci forniscono utili linee guida: circa due terzi delle volte (68,3%), i rendimenti dovrebbero rientrare in una deviazione standard (+/-); e il 95% delle volte, i rendimenti dovrebbero rientrare in due deviazioni standard. Due qualità di un grafo di distribuzione normale sono le “code” magre e la perfetta simmetria. Le code magre implicano un’occorrenza molto bassa (circa lo 0,3% delle volte) di rendimenti che sono più di tre deviazioni standard dalla media. La simmetria implica che la frequenza e l’entità dei guadagni al rialzo siano un’immagine speculare delle perdite al ribasso.
Di conseguenza, i modelli tradizionali trattano tutta l’incertezza come rischio, indipendentemente dalla direzione. Come molte persone hanno dimostrato, questo è un problema se i rendimenti non sono simmetrici: gli investitori si preoccupano delle loro perdite “a sinistra” della media, ma non si preoccupano dei guadagni a destra della media.
Illustriamo questa stranezza di seguito con due titoli fittizi. Il titolo in calo (linea blu) è del tutto privo di dispersione e quindi produce una volatilità pari a zero, ma il titolo in aumento, poiché presenta diversi shock al rialzo ma non un singolo calo, produce una volatilità (deviazione standard) del 10%.
Proprietà teoriche
Ad esempio, quando calcoliamo la volatilità dell’indice S&P 500 al 31 gennaio 2004, otteniamo un valore compreso tra il 14,7% e il 21,1%. Perché una tale gamma? Perché dobbiamo scegliere sia un intervallo che un periodo storico. Per quanto riguarda l’intervallo, potremmo raccogliere una serie di rendimenti mensili, settimanali o giornalieri (anche intra-giornalieri). E la nostra serie di rendimenti può estendersi su un periodo storico di qualsiasi durata, come tre anni, cinque anni o 10 anni. Di seguito, abbiamo calcolato la deviazione standard dei rendimenti per l’S & P 500 su un periodo di 10 anni, utilizzando tre diversi intervalli:
Si noti che la volatilità aumenta con l’aumentare dell’intervallo, ma non in proporzione: il settimanale non è quasi cinque volte l’importo giornaliero e il mensile non è quasi quattro volte il settimanale. Siamo arrivati a un aspetto chiave della teoria del cammino casuale : la deviazione standard scala (aumenta) in proporzione alla radice quadrata del tempo. Pertanto, se la deviazione standard giornaliera è dell’1,1% e se ci sono 250 giorni di negoziazione in un anno, la deviazione standard annualizzata è la deviazione standard giornaliera dell’1,1% moltiplicata per la radice quadrata di 250 (1,1% x 15,8 = 18,1%). Sapendo questo, possiamo annualizzare le deviazioni standard dell’intervallo per l’S & P 500 moltiplicando per la radice quadrata del numero di intervalli in un anno:
Un’altra proprietà teorica della volatilità potrebbe sorprendervi o meno: erode i rendimenti. Ciò è dovuto al presupposto fondamentale dell’idea del random walk: che i rendimenti siano espressi in percentuale. Immagina di iniziare con $ 100 e poi guadagnare il 10% per ottenere $ 110. Quindi perdi il 10%, il che ti porta a $ 99 ($ 110 x 90% = $ 99). Quindi guadagni di nuovo il 10%, per $ 108,90 netti ($ 99 x 110% = $ 108,9). Alla fine, perdi il 10% per $ 98,01 netti. Può essere controintuitivo, ma il tuo principale si sta lentamente erodendo anche se il tuo guadagno medio è dello 0%!
Se, ad esempio, ti aspetti un guadagno medio annuo del 10% all’anno (cioè, media aritmetica), risulta che il tuo guadagno atteso di lungo periodo è qualcosa di meno del 10% all’anno. Infatti, sarà ridotto di circa la metà della varianza (dove la varianza è la deviazione standard al quadrato). Nel puro ipotetico di seguito, iniziamo con $ 100 e poi immaginiamo cinque anni di volatilità per finire con $ 157:
I resi sono ben comportati? Il quadro teorico è senza dubbio elegante, ma dipende da ritorni ben educati. Vale a dire, una distribuzione normale e una passeggiata aleatoria (cioè indipendenza da un periodo all’altro). Come si confronta con la realtà? Abbiamo raccolto i rendimenti giornalieri negli ultimi 10 anni per l’S & P 500 e il Nasdaq di seguito (circa 2.500 osservazioni giornaliere):
Come ci si può aspettare, la volatilità del Nasdaq (deviazione standard annualizzata del 28,8%) è maggiore della volatilità dell’S & P 500 (deviazione standard annualizzata al 18,1%). Possiamo osservare due differenze tra la distribuzione normale e i rendimenti effettivi. In primo luogo, i rendimenti effettivi hanno picchi più alti, il che significa una maggiore preponderanza dei rendimenti vicino alla media. In secondo luogo, i rendimenti effettivi hanno code più grasse. (I nostri risultati si allineano in qualche modo con studi accademici più estesi, che tendono anche a trovare picchi alti e code grasse; il termine tecnico per questo è curtosi ). Supponiamo di considerare meno tre deviazioni standard come una grande perdita: l’S & P 500 ha subito una perdita giornaliera di meno tre deviazioni standard circa -3,4% delle volte. La curva normale prevede che una tale perdita si verificherebbe circa tre volte in 10 anni, ma in realtà è accaduta 14 volte!
Queste sono distribuzioni di rendimenti a intervalli separati, ma cosa dice la teoria sui rendimenti nel tempo? Come test, diamo un’occhiata alle distribuzioni giornaliere effettive dell’S & P 500 sopra. In questo caso, il rendimento medio annuo (negli ultimi 10 anni) è stato di circa il 10,6% e, come discusso, la volatilità annualizzata è stata del 18,1%. Qui eseguiamo una prova ipotetica iniziando con $ 100 e mantenendola per 10 anni, ma ogni anno esponiamo l’investimento a un risultato casuale che è stato in media del 10,6% con una deviazione standard del 18,1%. Questa prova è stata eseguita 500 volte, rendendola una cosiddetta simulazione Monte Carlo. Di seguito sono riportati i risultati del prezzo finale di 500 prove:
Una distribuzione normale viene mostrata come sfondo solo per evidenziare i risultati di prezzo molto non normali. Tecnicamente, i risultati del prezzo finale sono lognormali (il che significa che se l’asse x fosse convertito in logaritmo naturale di x, la distribuzione sembrerebbe più normale). Il punto è che diversi risultati di prezzo sono decisamente a destra: su 500 prove, sei risultati hanno prodotto un risultato di fine periodo di $ 700! Questi pochi preziosi risultati sono riusciti a guadagnare in media oltre il 20%, ogni anno, in 10 anni. Sul lato sinistro, poiché un saldo in calo riduce gli effetti cumulativi delle perdite percentuali, abbiamo ottenuto solo una manciata di risultati finali inferiori a $ 50. Per riassumere un’idea difficile, possiamo dire che i rendimenti dell’intervallo, espressi in termini percentuali, sono normalmente distribuiti, ma i risultati del prezzo finale sono distribuiti in modo logico.
Infine, un altro risultato delle nostre prove è coerente con gli “effetti di erosione” della volatilità: se il tuo investimento guadagnava esattamente la media ogni anno, alla fine manterresti circa $ 273 (10,6% composto su 10 anni). Ma in questo esperimento, il nostro guadagno complessivo previsto era più vicino a $ 250. In altre parole, il guadagno annuale medio (aritmetico) era del 10,6%, ma il guadagno cumulativo (geometrico) era inferiore.
È fondamentale tenere presente che la nostra simulazione presuppone un cammino casuale: presuppone che i rendimenti da un periodo all’altro siano totalmente indipendenti. Non lo abbiamo dimostrato in alcun modo, e non è un presupposto banale. Se ritieni che i rendimenti seguano le tendenze, stai tecnicamente dicendo che mostrano una correlazione seriale positiva. Se pensi che tornino alla media, tecnicamente stai dicendo che mostrano una correlazione seriale negativa. Nessuna delle due posizioni è coerente con l’indipendenza.
La Bottom Line Volatility è la deviazione standard annualizzata dei rendimenti. Nel quadro teorico tradizionale, non solo misura il rischio, ma influenza l’aspettativa di rendimenti a lungo termine (multi-periodo). In quanto tale, ci chiede di accettare le ipotesi dubbie secondo cui i rendimenti a intervalli sono normalmente distribuiti e indipendenti. Se queste ipotesi sono vere, l’alta volatilità è un’arma a doppio taglio: erode il rendimento previsto a lungo termine (riduce la media aritmetica alla media geometrica), ma ti offre anche più possibilità di ottenere alcuni grandi guadagni.