3 Maggio 2021 14:05

Interesse composto continuo

L’interesse composto è l’interesse calcolato sul capitale iniziale   e anche sull’interesse accumulato dei periodi precedenti di un deposito o prestito. L’effetto dell’interesse composto dipende dalla frequenza.

Ipotizzate un tasso di interesse annuo del 12%. Se iniziamo l’anno con $ 100 e composto solo una volta, alla fine dell’anno, il capitale cresce fino a $ 112 ($ 100 x 1,12 = $ 112). L’interesse applicato solo al principio è indicato come interesse semplice. Se invece composto ogni mese all’1%, alla fine dell’anno avremo più di $ 112. Cioè, $ 100 x 1,01 ^ 12 equivale a $ 112,68. (È più alto perché abbiamo composto più frequentemente.)

I rendimenti composti continuamente si compongono più frequentemente di tutti. La composizione continua è il limite matematico che può raggiungere l’interesse composto. È un caso estremo di capitalizzazione poiché la maggior parte degli interessi è composta su base mensile, trimestrale o semestrale.

Punti chiave

  • L’interesse semplice viene applicato solo al principio e non a qualsiasi interesse accumulato.
  • L’interesse composto è l’interesse maturato sul principio e l’interesse applicato in precedenza.
  • L’effetto dell’interesse composto dipende dalla frequenza con cui viene applicato.
  • Per le obbligazioni, il rendimento equivalente all’obbligazione è il rendimento annuo atteso.
  • I rendimenti a composizione continua scalano su più periodi.
  • Si dice che la capitalizzazione degli interessi alla sua frequenza più alta sia composta continuamente.

Tassi di rendimento semestrali

Per prima cosa, diamo un’occhiata a una rendimento equivalente a un’obbligazione (o base equivalente a un’obbligazione). Ciò significa che se un’obbligazione produce il 6% su base semestrale, il suo rendimento equivalente all’obbligazione è del 12%.

Il rendimento semestrale è semplicemente raddoppiato. Questo è potenzialmente fonte di confusione perché il rendimento effettivo di un’obbligazione con rendimento equivalente al 12% è del 12,36% (cioè 1,06 ^ 2 = 1,1236). Raddoppiare il rendimento semestrale è solo una convenzione di denominazione delle obbligazioni. Pertanto, se leggiamo circa un legame dell’8% composto semestralmente, presumiamo che questo si riferisca a un rendimento semestrale del 4%.

Tassi di rendimento trimestrali, mensili e giornalieri

Ora, parliamo delle frequenze più alte. Stiamo ancora ipotizzando un tasso di interesse di mercato annuo del 12%. In base alle convenzioni di denominazione delle obbligazioni, ciò implica un tasso composto semestrale del 6%. Possiamo ora esprimere il tasso composto trimestrale in funzione del tasso di interesse di mercato.

Dato un tasso di mercato annuale ( r), il tasso composto trimestrale ( r q ) è dato da:

Quindi, per il nostro esempio, dove il tasso di mercato annuale è del 12%, il tasso composto trimestrale è dell’11,825%:

rq=4
​rq​=4[(2

Una logica simile si applica alla capitalizzazione mensile. Il tasso composto mensile ( r m ) è dato qui come funzione del tasso di interesse di mercato annuale ( r):

Il tasso composto giornaliero ( d) in funzione del tasso di interesse di mercato ( r) è dato da:

rd=360
rd​​=360[(2

Come funziona il compounding continuo

Se aumentiamo la frequenza del composto al suo limite, stiamo mescolando continuamente. Anche se questo potrebbe non essere pratico, il tasso di interesse costantemente composto offre proprietà meravigliosamente convenienti. Risulta che il tasso di interesse composto continuamente è dato da:



Con piccoli incrementi di tempo, l’importo degli interessi guadagnati è infinitamente piccolo.

Ln () è il logaritmo naturale e nel nostro esempio, il tasso composto continuamente è quindi:

rcontionuouS=ln⁡(1+0.12)=ln⁡(1.12)≅11.33%\ begin {allineato} & r_ {continuo} = \ ln (1 + 0.12) = \ ln (1.12) \ cong 11.33 \% \\ \ end {allineato}​rcontinuous​=ln(1+0.12)=ln(1.12)≅11.33%​

Arriviamo allo stesso punto prendendo il logaritmo naturale di questo rapporto: il valore finale diviso per il valore iniziale.

rcontionuouS=ln⁡(ValueEndValueStart)=ln⁡(112100)≅11.33%\ begin {align} & r_ {continuous} = \ ln \ left (\ frac {\ text {Value} _ \ text {End}} {\ text {Value} _ \ text {Start}} \ right) = \ ln \ sinistra (\ frac {112} {100} \ right) \ cong 11.33 \% \\ \ end {allineato}​rcontinuous​=ln(ValoreInizio​

Quest’ultimo è comune quando si calcola il rendimento composto continuamente per un titolo. Ad esempio, se il titolo salta da $ 10 un giorno a $ 11 il giorno successivo, il rendimento giornaliero composto continuamente è dato da:

rcontionuouS=ln⁡(ValueEndValueStart)=ln⁡($11$10)≅9.53%\ begin {align} & r_ {continuous} = \ ln \ left (\ frac {\ text {Value} _ \ text {End}} {\ text {Value} _ \ text {Start}} \ right) = \ ln \ sinistra (\ frac {\ $ 11} {\ $ 10} \ right) \ cong 9.53 \% \\ \ end {allineato}​rcontinuous​=ln(ValoreInizio​

Cosa c’è di così bello nel tasso (o rendimento) composto continuamente che indicheremo con r c? Innanzitutto, è facile portarlo avanti. Dato un capitale di (P), la nostra ricchezza finale su (n) anni è data da:

w=Percn\ begin {allineato} & w = Pe ^ {r_c n} \\ \ end {allineato}​w=Perc​n​

Note that e is the exponential function. For example, if we start with $100 and continuously compound at 8% over three years, the final wealth is given by:

w=$100e(0.08)(3)=$127.12\ begin {allineato} & w = \ $ 100e ^ {(0,08) (3)} = \ $ 127,12 \\ \ end {allineato}​w=$100e(0.08)(3)=$127.12​

L’attualizzazione al valore attuale (PV) è semplicemente una capitalizzazione al contrario, quindi il valore attuale di un valore futuro (F) composto continuamente a un tasso di ( r c ) è dato da:

PV of F received in (n) years=Fercn=Fe-rcn\ inizio {allineato} & \ text {PV di F ricevuto in (n) anni} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ { -r_c n} \\ \ end {allineato}​PV di F ricevuto in (n) anni=erc​n

Ad esempio, se riceverai $ 100 in tre anni con una tariffa continua del 6%, il suo valore attuale è dato da:

PV=Fe-rcn=($100)e-(0.06)(3)=$100e-0.18≅$83.53\ begin {align} & \ text {PV} = Fe ^ { -r_c n} = (\ $ 100) e ^ { – (0.06) (3)} = \ $ 100 e ^ { -0.18} \ cong \ $ 83.53 \\ \ end {allineato}​PV=Fe-rc​n=($100)e-(0.06)(3)=$100e-0.18≅$83.53​

Scalabilità su più periodi

La proprietà conveniente dei rendimenti composti continuamente è che si ridimensionano su più periodi. Se il rendimento per il primo periodo è del 4% e il rendimento per il secondo periodo è del 3%, il rendimento di due periodi è del 7%. Considera che iniziamo l’anno con $ 100, che crescono fino a $ 120 alla fine del primo anno, quindi $ 150 alla fine del secondo anno. I rendimenti composti continuamente sono, rispettivamente, 18,23% e 22,31%.

ln⁡(120100)≅18.23%\ inizio {allineato} & \ ln \ sinistra (\ frac {120} {100} \ destra) \ cong 18.23 \% \\ \ end {allineato}​ln(100

ln⁡(150120)≅22.31%\ inizio {allineato} & \ ln \ sinistra (\ frac {150} {120} \ destra) \ cong 22.31 \% \\ \ end {allineato}​ln(120

Se li sommiamo semplicemente insieme, otteniamo il 40,55%. Questo è il ritorno in due periodi:

ln⁡(150100)≅40.55%\ inizio {allineato} & \ ln \ sinistra (\ frac {150} {100} \ destra) \ cong 40.55 \% \\ \ end {allineato}​ln(100

Tecnicamente parlando, il ritorno continuo è coerente nel tempo. La coerenza temporale è un variabile casuale distribuita normalmente, vogliamo che anche le variabili casuali di più periodi siano distribuite normalmente. Inoltre, il rendimento composto continuamente su più periodi è normalmente distribuito (a differenza, ad esempio, di un semplice rendimento percentuale).

Domande frequenti sulla composizione continua

Cosa significa essere composti continuamente?

Essere composto continuamente significa che non c’è limite alla frequenza con cui l’interesse può essere composto. Il compounding continuo può verificarsi un numero infinito di volte, il che significa che un equilibrio guadagna sempre interesse.

Composto continuamente significa quotidiano?

Composto continuamente significa che l’interesse si accumula in ogni momento, anche nel più piccolo periodo di tempo quantificabile. Pertanto, il composto continuo si verifica più frequentemente che quotidianamente.

Perché viene utilizzata la mescola continua?

La composizione continua viene utilizzata per mostrare quanto può guadagnare un saldo quando l’interesse è in costante aumento. Per gli investitori, possono calcolare quanto si aspettano di ricevere da un investimento che guadagna un tasso di interesse composto continuamente.

Qual è la differenza tra compounding discreto e continuo?

La composizione discreta applica interessi in momenti specifici, ad esempio giornaliero, mensile, trimestrale o annuale. La composizione discreta definisce esplicitamente il tempo in cui verrà applicato l’interesse. La composizione continua applica interesse continuamente, in ogni momento.

Qual è la differenza tra il compounding annuale e quello continuo?

La capitalizzazione annuale significa che l’interesse viene applicato al principio e gli interessi accumulati in precedenza ogni anno; considerando che la composizione continua significa che l’interesse viene applicato al principio e l’interesse accumulato in ogni momento. Non c’è una frazione di tempo in cui l’interesse non viene applicato con la composizione continua.

La linea di fondo

Possiamo riformulare i tassi di interesse annuali in tassi di interesse semestrali, trimestrali, mensili o giornalieri (o tassi di rendimento). La composizione più frequente è la composizione continua, che richiede di utilizzare un logaritmo naturale e una funzione esponenziale, comunemente utilizzata in finanza per le sue proprietà desiderabili. La composizione continua restituisce facilmente la scala su più periodi ed è coerente nel tempo.