Probabilità condizionale

Che cos’è la probabilità condizionale?

La probabilità condizionata è definita come la probabilità che si verifichi un evento o un risultato, sulla base del verificarsi di un evento o risultato precedente. La probabilità condizionale viene calcolata moltiplicando la probabilità dell’evento precedente per la probabilità aggiornata dell’evento successivo o condizionale.

Per esempio:

• L’evento A è che un individuo che fa domanda per l’università sarà accettato. C’è una probabilità dell’80% che questa persona venga accettata al college.
• L’evento B è che a questa persona verrà assegnato un alloggio dormitorio. I dormitori saranno forniti solo per il 60% di tutti gli studenti accettati.
• P (Accettato e dormitorio) = P (Dormitorio | Accettato) P (Accettato) = (0.60) * (0.80) = 0.48.

Una probabilità condizionale esaminerebbe questi due eventi in relazione l’uno con l’altro, come la probabilità che entrambi veniate accettati al college  e che  vi venga fornito un alloggio dormitorio.

La probabilità condizionata può essere contrapposta alla probabilità incondizionata. La probabilità incondizionata si riferisce alla probabilità che un evento si verifichi indipendentemente dal fatto che si siano verificati altri eventi o che siano presenti altre condizioni.

Punti chiave

• La probabilità condizionale si riferisce alle possibilità che si verifichi un risultato dato che si è verificato anche un altro evento.
• È spesso indicato come la probabilità di B dato A ed è scritto come P (B | A), dove la probabilità di B dipende da quella che si verifica A.
• La probabilità condizionata può essere contrapposta alla probabilità incondizionata.

Comprensione della probabilità condizionale

Come affermato in precedenza, le probabilità condizionate dipendono da un risultato precedente. Fa anche una serie di ipotesi. Ad esempio, supponi di disegnare tre biglie – rossa, blu e verde – da una borsa. Ogni biglia ha le stesse possibilità di essere estratta. Qual è la probabilità condizionale di disegnare la biglia rossa dopo aver già disegnato quella blu?

In primo luogo, la probabilità di disegnare una biglia blu è di circa il 33% perché è un possibile risultato su tre. Supponendo che si verifichi questo primo evento, rimarranno due biglie, ognuna con una probabilità del 50% di essere estratta. Quindi la possibilità di disegnare una biglia blu dopo aver già disegnato una biglia rossa sarebbe di circa il 16,5% (33% x 50%).

Come altro esempio per fornire ulteriori informazioni su questo concetto, considera che è stato lanciato un dado equo e ti viene chiesto di fornire la probabilità che fosse un cinque. Ci sono sei risultati ugualmente probabili, quindi la tua risposta è 1/6. Ma immagina se prima di rispondere, ottieni informazioni extra che il numero tirato era dispari. Poiché sono possibili solo tre numeri dispari, uno dei quali è cinque, rivedrai sicuramente la tua stima per la probabilità che un cinque sia stato tirato da 1/6 a 1/3.

Questa   probabilità rivista che si  sia verificato un evento  A, considerando le informazioni aggiuntive che un altro evento  B si  è sicuramente verificato in questa prova dell’esperimento, è chiamata  probabilità condizionata di  A  dato  B  ed è denotata da P (A | B).

Formula di probabilità condizionale

P (B | A) = P (A e B) / P (A)

O:

P (B | A) = P (A∩B) / P (A)

Un altro esempio di probabilità condizionale

Come altro esempio, supponiamo che uno studente richieda l’ammissione a un’università e speri di ricevere una borsa di studio accademica. La scuola a cui fanno domanda accetta 100 candidati su 1.000 (10%) e assegna borse di studio accademiche a 10 studenti su 500 ammessi (2%). Tra i beneficiari della borsa di studio, il 50% riceve anche borse di studio universitarie per libri, pasti e alloggio. Per il nostro studente ambizioso, la possibilità che venga accettato e successivamente riceva una borsa di studio è dello 0,2% (0,1 x 0,02). La possibilità che vengano accettati, ricevano la borsa di studio, quindi anche uno stipendio per libri, ecc. È dello 0,1% (0,1 x 0,02 x 0,5). (Puoi anche controllare il Teorema di Bayes.)

Probabilità condizionale vs. probabilità congiunta e probabilità marginale

Probabilità condizionata : p (A | B) è la probabilità che si verifichi l’evento A, dato che si verifica l’evento B. Esempio: dato che hai pescato un cartellino rosso, qual è la probabilità che sia un quattro (p (quattro | rosso)) = 2/26 = 1/13. Quindi su 26 cartellini rossi (dato un cartellino rosso), ci sono due quattro, quindi 2/26 = 1/13.

Probabilità marginale : la probabilità che si verifichi un evento (p (A)), può essere pensata come una probabilità incondizionata. Non è condizionato da un altro evento. Esempio: la probabilità che una carta estratta sia rossa (p (rosso) = 0,5). Un altro esempio: la probabilità che una carta estratta sia un 4 (p (quattro) = 1/13).

Probabilità congiunta : p (A e B). La probabilità che  si verifichino glieventi A  e B. È la probabilità dell’intersezione di due o più eventi. La probabilità dell’intersezione di A e B può essere scritta p (A ∩ B). Esempio: la probabilità che una carta sia un quattro e rosso = p (quattro e rosso) = 2/52 = 1/26. (Ci sono due quattro rossi in un mazzo di 52, il 4 di cuori e il 4 di quadri).

Teorema di Bayes

Il teorema di Bayes, che prende il nome dal matematico britannico del XVIII secolo Thomas Bayes, è una formula matematica per determinare la probabilità condizionale. Il teorema fornisce un modo per rivedere le previsioni o le teorie esistenti (probabilità di aggiornamento) date prove nuove o aggiuntive. In finanza, il teorema di Bayes può essere utilizzato per valutare il rischio di prestare denaro a potenziali mutuatari.

Il teorema di Bayes è anche chiamato regola di Bayes o legge di Bayes ed è il fondamento del campo della statistica bayesiana. Questo insieme di regole di probabilità consente di aggiornare le proprie previsioni degli eventi che si verificano sulla base delle nuove informazioni ricevute, rendendo le stime migliori e più dinamiche.