Teorema del limite centrale (CLT)
Cos’è il teorema del limite centrale (CLT)?
Nello studio della teoria della probabilità, il teorema del limite centrale (CLT) afferma che la distribuzione del campione approssima una distribuzione normale (nota anche come “curva a campana”) quando la dimensione del campione diventa più grande, assumendo che tutti i campioni siano di dimensioni identiche, e indipendentemente dalla forma della distribuzione della popolazione.
Detto in un altro modo, il CLT è una teoria statistica che afferma che, data una dimensione del campione sufficientemente ampia da una popolazione con un livello finito di varianza, la media di tutti i campioni della stessa popolazione sarà approssimativamente uguale alla media della popolazione. Inoltre, tutti i campioni seguiranno un modello di distribuzione normale approssimativo, con tutte le varianze approssimativamente uguali alla varianza della popolazione, divisa per la dimensione di ciascun campione.
Punti chiave
- Il teorema del limite centrale (CLT) afferma che la distribuzione delle medie campionarie approssima una distribuzione normale all’aumentare della dimensione del campione.
- Le dimensioni del campione uguali o superiori a 30 sono considerate sufficienti per la tenuta del CLT.
- Un aspetto chiave del CLT è che la media delle medie campionarie e delle deviazioni standard sarà uguale alla media della popolazione e alla deviazione standard.
- Una dimensione del campione sufficientemente ampia può prevedere con precisione le caratteristiche di una popolazione.
Sebbene questo concetto sia stato sviluppato per la prima volta da Abraham de Moivre nel 1733, non è stato formalmente nominato fino al 1930, quando il noto matematico ungherese George Polya lo ha ufficialmente ribattezzato Teorema del limite centrale.1
Comprensione del teorema del limite centrale (CLT)
Secondo il teorema del limite centrale, la media di un campione di dati sarà più vicina alla media della popolazione complessiva in questione, all’aumentare della dimensione del campione, nonostante l’effettiva distribuzione dei dati. In altre parole, i dati sono accurati sia che la distribuzione sia normale o aberrante.
Come regola generale, le dimensioni del campione pari o superiori a 30 sono ritenute sufficienti per il CLT, il che significa che la distribuzione delle medie campionarie è distribuita abbastanza normalmente. Pertanto, più campioni si prendono, più i risultati rappresentati graficamente assumono la forma di una distribuzione normale.
Il Teorema del limite centrale mostra un fenomeno in cui la media delle medie campionarie e delle deviazioni standard sono uguali alla media della popolazione e alla deviazione standard, il che è estremamente utile per prevedere con precisione le caratteristiche delle popolazioni.
Il teorema del limite centrale in finanza
Il CLT è utile quando si esaminano i rendimenti di un singolo titolo o di indici più ampi, perché l’analisi è semplice, data la relativa facilità di generazione dei dati finanziari necessari. Di conseguenza, gli investitori di tutti i tipi si affidano al CLT per analizzare i rendimenti delle azioni, costruire portafogli e gestire il rischio.
Supponiamo, ad esempio, che un investitore desideri analizzare il rendimento complessivo di un indice azionario che comprende 1.000 azioni. In questo scenario, quell’investitore può semplicemente studiare un campione casuale di azioni, per coltivare i rendimenti stimati dell’indice totale. Affinché il teorema del limite centrale sia valido, devono essere campionati almeno 30 titoli selezionati casualmente, in vari settori. Inoltre, le azioni selezionate in precedenza devono essere sostituite con nomi diversi, per aiutare a eliminare i pregiudizi.